初中数学圆的认识试题

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦，点 $C$ 是优弧 $\mathit{AB}$ 上的动点 $(C$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合）， $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ，点 $M$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点．若 $\odot O$ 的半径是3，则 $\mathit{MH}$ 长的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在中，，点，分别是，的中点，点是扇形的上任意一点，连接，，则的最小值是　 　．

如图，直径为 $2\mathit{cm}$ 的圆在直线 $l$ 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为 $($ 　　 $)$

A．

$5\pi$

B．

$6\pi$

C．

$20\pi$

D．

$24\pi$

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(\mathit{archimedes}$ ，公元前 $287-$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}(973-1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的两条弦（即折线 $\mathit{ABC}$ 是圆的一条折弦）， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，则从 $M$ 向 $\mathit{BC}$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $\mathit{ABC}$ 的中点，即 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ ．下面是运用"截长法"证明 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $\mathit{CB}$ 上截取 $\mathit{CG}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{MA}$ ， $\mathit{MB}$ ， $\mathit{MC}$ 和 $\mathit{MG}$ ．

$\because M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，

$\therefore \mathit{MA}=\mathit{MC}$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $D$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上一点， $\angle \mathit{ABD}=45°$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{\Delta BDC}$ 的周长是 　 ．

如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；

	0	1	2	3	4	5	6
	5.62	4.67	3.76		2.65	3.18	4.37
	5.62	5.59	5.53	5.42	5.19	4.73	4.11

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为　　．

如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C₁，这4个正三角形的周长和为C₂，则C₁和C₂的大小关系是（  ）

A．C1＞C2

B．C1＜C2

C．C1=C2

D．不能确定

如图，圆O图形中，共有圆弧的条数（   ）

A．3条

B．4条

C．5条

D．6条

如图，已知AB是⊙O的直径，∠AOE=60°，点C是AB延长线上一点，CE交⊙O于点D，且CD=OB，则∠C等于（  ）

A．10°

B．15°

C．20°

D．30°

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$ 过点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{BC}$ ；

①如图1，是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCO}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，连接 $\mathit{PA}$ 交抛物线于点 $N$ ， $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{BCO}$ ，点 $M$ 在第三象限抛物线上，连接 $\mathit{MN}$ ，当 $\angle \mathit{ANM}=45°$ 时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．

如图，是的直径，、两点在的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．

（1）求证：；

（2）求，的长；

（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．