初中数学圆心角、弧、弦的关系试题

在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 $($　　 $)$

A． $30°$B． $45°$C． $60°$D． $90°$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=56°$．以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$． $E$是 $\odot O$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$，连接 $\mathit{OE}$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{OE}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$，则 $\angle F$的度数为 $($　　 $)$

A． $92°$B． $108°$C． $112°$D． $124°$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$为弧 $\mathit{BD}$的中点，若 $\angle \mathit{DAB}=40°$，则 $\angle \mathit{ABC}=$　         　．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆，直径 $\mathit{AD}=4$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DAC}$，则 $\mathit{AC}$长为　      　．

问题背景：

如图①，在四边形 $\mathit{ADBC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，探究线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $\mathit{\Delta BCD}$绕点 $D$，逆时针旋转 $90°$到 $\mathit{\Delta AED}$处，点 $B$， $C$分别落在点 $A$， $E$处（如图② $)$，易证点 $C$， $A$， $E$在同一条直线上，并且 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，所以 $\mathit{CE}=\sqrt{2}\mathit{CD}$，从而得出结论： $\mathit{AC}+\mathit{BC}=\sqrt{2}\mathit{CD}$．

简单应用：

（1）在图①中，若 $\mathit{AC}=\sqrt{2}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}=$　　．

（2）如图③， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot$上， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$，求 $\mathit{CD}$的长．

拓展规律：

（3）如图④， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，若 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n(m<n)$，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）

（4）如图⑤， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$为 $\mathit{AB}$的中点，若点 $E$满足 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $Q$为 $\mathit{AE}$的中点，则线段 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AC}$的数量关系是　　．

如图， $A$， $B$， $C$， $D$是 $\odot O$上的四点，且点 $B$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点， $\mathit{BD}$交 $\mathit{OC}$于点 $E$， $\angle \mathit{AOC}=100°$， $\angle \mathit{OCD}=35°$，那么 $\angle \mathit{OED}=$   　．

如图， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，点 $A$和点 $D$是 $\odot O$上的两点，过点 $A$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BE}$延长线于点 $C$．

（1）若 $\angle \mathit{ADE}=25°$，求 $\angle C$的度数；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=2$，求 $\odot O$半径的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$、 $D$为半圆的三等分点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$， $\angle \mathit{ACE}$的度数为　　．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于 $E$， $\odot O$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）已知 $\mathit{DG}\perp \mathit{AB}$且 $\mathit{DE}=4$， $\odot O$的半径为5，求 $\tan \angle F$的值．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为直径， $D$、 $E$为圆上两点， $C$为圆外一点，且 $\angle E+\angle C=90°$．

（1）求证： $\mathit{BC}$为 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin A=\frac{3}{5}$， $\mathit{BC}=6$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\odot O$中， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CB}}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$于 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{OB}$于 $E$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$．

如图， $\mathit{BD}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{BC}$与 $\mathit{OA}$相交于点 $E$， $\mathit{AF}$与 $\odot O$相切于点 $A$，交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F$， $\angle F=30°$， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{BC}=8$．

（1）求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（2）求 $\mathit{AC}$的长度．

如图，五边形 $\mathit{ABCDE}$内接于 $\odot O$， $\mathit{CF}$与 $\odot O$相切于点 $C$，交 $\mathit{AB}$延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\angle E=\angle \mathit{BCD}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\mathit{OB}=2$， $\mathit{AB}=\mathit{BD}=\mathit{DA}$， $\angle F=45°$，求 $\mathit{CF}$的长．

如图， $A$， $B$， $C$， $D$是 $\odot O$上的四个点， $B$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点， $M$是半径 $\mathit{OD}$上任意一点．若 $\angle \mathit{BDC}=40°$，则 $\angle \mathit{AMB}$的度数不可能是 $($　　 $)$

A． $45°$B． $60°$C． $75°$D． $85°$

如图，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$上一点，以 $\mathit{OB}$为半径的 $\odot O$与边 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$分别相交于点 $D$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\angle C=90°$；

（2）当 $\mathit{BC}=3$， $\sin A=\frac{3}{5}$时，求 $\mathit{AF}$的长．