初中数学切线的判定解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$，过 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{AC}$交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $G$，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$，且 $\mathit{EG}=\mathit{FG}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ECF}\backsim \mathit{\Delta GCE}$；

（2）求证： $\mathit{EG}$是 $\odot O$的切线；

（3）延长 $\mathit{AB}$交 $\mathit{GE}$的延长线于点 $M$，若 $\tan G=\frac{3}{4}$， $\mathit{AH}=3\sqrt{3}$，求 $\mathit{EM}$的值．

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$为 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\angle \mathit{ACD}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{DC}$为 $\odot O$的切线；

（2）线段 $\mathit{DF}$分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$且 $\angle \mathit{CEF}=45°$， $\odot O$的半径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{CF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}$为直角， $\mathit{OA}=6$， $\mathit{OB}=8$，半径为2的动圆圆心 $Q$从点 $O$出发，沿着 $\mathit{OA}$方向以1个单位长度 $/$秒的速度匀速运动，同时动点 $P$从点 $A$出发，沿着 $\mathit{AB}$方向也以1个单位长度 $/$秒的速度匀速运动，设运动时间为 $t$秒 $(0<t⩽5)$以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$长为半径的 $\odot P$与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{OA}$的另一个交点分别为 $C$、 $D$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{QC}$．

（1）当 $t$为何值时，点 $Q$与点 $D$重合？

（2）当 $\odot Q$经过点 $A$时，求 $\odot P$被 $\mathit{OB}$截得的弦长．

（3）若 $\odot P$与线段 $\mathit{QC}$只有一个公共点，求 $t$的取值范围．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\mathit{BC}$于点 $O$， $\mathit{OC}=1$，以点 $O$为圆心 $\mathit{OC}$为半径作半圆．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）如果 $\tan \angle \mathit{CAO}=\frac{1}{3}$，求 $\cos B$的值．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $C$为 $\odot O$上一点，点 $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于 $E$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于 $F$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{OF}=4$，求 $\mathit{AC}$的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$， $\mathit{AC}$的延长线与过点 $B$的直线相交于点 $E$，且 $\angle A=\angle \mathit{EBC}$．

（1）求证： $\mathit{BE}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{CG}//\mathit{EB}$，且 $\mathit{CG}$与 $\mathit{BD}$、 $\mathit{BA}$分别相交于点 $F$、 $G$，若 $\mathit{BG}·\mathit{BA}=48$， $\mathit{FG}=\sqrt{2}$， $\mathit{DF}=2\mathit{BF}$，求 $\mathit{AH}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AC}$边为直径作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$边于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{ED}$、 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{EB}=\frac{3}{2}$，且 $\sin \angle \mathit{CFD}=\frac{3}{5}$，求 $\odot O$的半径与线段 $\mathit{AE}$的长．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点 $O$为圆心，经过 $A$， $C$两点且与 $\mathit{BC}$边交于点 $E$，点 $D$为 $\mathit{CE}$的下半圆弧的中点，连接 $\mathit{AD}$交线段 $\mathit{EO}$于点 $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CF}=4$， $\mathit{DF}=\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径 $r$及 $\sin B$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以点 $O$为圆心的圆分别交 $x$轴的正半轴于点 $M$，交 $y$轴的正半轴于点 $N$．劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{MN}}$的长为 $\frac{6}{5}\pi$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用 $\pi$表示）

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求 $\angle \mathit{CDE}$的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若 $\mathit{AC}＝2\sqrt{5}\mathit{DE}$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{ABD}$的值．

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且 $\angle \mathit{BAC}＝\angle \mathit{CAD}$．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；

（2）若 $\mathit{CD}＝3$， $\angle \mathit{CAD}＝30°$，求⊙O的半径．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且 $\mathit{BD}＝\mathit{BC}$，延长AD到E，且有 $\angle \mathit{EBD}＝\angle \mathit{CAB}$．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=5$，求圆的直径AD及切线BE的长．

如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，以 BC为直径的⊙ O交斜边 AB于点 M，若 H是 AC的中点，连接 MH．

（1）求证： MH为⊙ O的切线．

（2）若 $\mathit{MH}=\frac{3}{2},$ $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$ ，求⊙ O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点 A、 B作⊙ O的切线，两切线交于点 D， AD与⊙ O相切于 N点，过 N点作 NQ⊥ BC，垂足为 E，且交⊙ O于 Q点，求线段 NQ的长度．