初中数学轴对称-最短路线问题试题

如图，在平面直角坐标系中，已知 $A(3,6)$， $B(-2,2)$，在 $x$轴上取两点 $C$， $D$（点 $C$在点 $D$左侧），且始终保持 $\mathit{CD}=1$，线段 $\mathit{CD}$在 $x$轴上平移，当 $\mathit{AD}+\mathit{BC}$的值最小时，点 $C$的坐标为　   　．

如图，等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边长为3，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}$ ，线段 $\mathit{PQ}$ 在边 $\mathit{BA}$ 上运动， $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}$ ，有下列结论：

① $\mathit{CP}$ 与 $\mathit{QD}$ 可能相等；

② $\mathit{\Delta AQD}$ 与 $\mathit{\Delta BCP}$ 可能相似；

③四边形 $\mathit{PCDQ}$ 面积的最大值为 $\frac{31\sqrt{3}}{16}$ ；

④四边形 $\mathit{PCDQ}$ 周长的最小值为 $3+\frac{\sqrt{37}}{2}$ ．

其中，正确结论的序号为 $($ 　　 $)$

A．

①④

B．

②④

C．

①③

D．

②③

如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．

为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明．

（2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是　　．

在平面直角坐标系中，长为2的线段 $\mathit{CD}$ （点 $D$ 在点 $C$ 右侧）在 $x$ 轴上移动， $A(0,2)$ ， $B(0,4)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ ，则 $\mathit{AC}+\mathit{BD}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{5}$

B．

$2\sqrt{10}$

C．

$6\sqrt{2}$

D．

$3\sqrt{5}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上且 $\mathit{BE}=1$ ， $F$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 上一动点，则 $\mathit{\Delta BFE}$ 周长的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为．

（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；

（2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，的周长最小值是　 　．

如图，在中，，，，点在上，且，点在上运动．将沿折叠，点落在点处，则点到的最短距离是　　．

问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．

问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=\sqrt{3}:1$ ，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 折叠，点 $A$ 的对应点为 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，且 $\mathit{BG}=2$ ，在 $\mathit{AD}$ 边上有一点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}+\mathit{EH}$ 的值最小，此时 $\frac{\mathit{BH}}{\mathit{CF}}=($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

D．

$\frac{3}{2}$

如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；

（3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，点、、、分别在矩形的边、、、（不包括端点）上运动，且满足，．

（1）求证：；

（2）试判断四边形的形状，并说明理由．

（3）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．

如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABO}$ 中， $\angle \mathit{OBA}=90°$ ， $A(4,4)$ ，点 $C$ 在边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CB}}=\frac{1}{3}$ ，点 $D$ 为 $\mathit{OB}$ 的中点，点 $P$ 为边 $\mathit{OA}$ 上的动点，当点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上移动时，使四边形 $\mathit{PDBC}$ 周长最小的点 $P$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$(2,2)$

B．

$(\frac{5}{2}$ ， $\frac{5}{2})$

C．

$(\frac{8}{3}$ ， $\frac{8}{3})$

D．

$(3,3)$

如图，抛物线的图象过点、、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．