初中数学相似多边形的性质试题

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．

（1）直接写出 D，E 两点的坐标，D（         ），E（           ）
（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？
（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（    ）

A．2      B．4      C．6      D．8

如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使得两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：

①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x＝时，EF＋GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是________（填序号）．

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝，EC＝．则在下面函数图象中，大致能反应与之间函数关系的是

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是  ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为  ；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．

（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

有两个直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，将这两个直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=        度；
（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围（直接写出结果，不必写过程）．

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动
点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接。

（1）若与相似，求的值；
（2）连接，，若，求的值

类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是          ，CG和EH的数量关系是          ，的值是         
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是       （用含的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，（，），则的值是             （用含a、b的代数式表示）．
          

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．

（1）用含有t的代数式表示PE=           ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

如图，正方形ABCB₁中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB₁交直线l于点A₁，作正方形A₁B₁C₁B₂，延长C₁B₂交直线l于点A₂，作正方形A₂B₂C₂B₃，延长C₂B₃交直线l于点A₃，作正方形A₃B₃C₃B₄，…，依此规律，则A₂₀₁₄A₂₀₁₅=           ．

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当时，；
②当时， 
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．