初中数学相似三角形的判定与性质选择题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=15$ ， $\mathit{BC}=20$ ，把边 $\mathit{AB}$ 沿对角线 $\mathit{BD}$ 平移，点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ 分别对应点 $A$ ， $B$ 给出下列结论：

①顺次连接点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C$ ， $D$ 的图形是平行四边形；

②点 $C$ 到它关于直线 $\mathit{AA}\text{'}$ 的对称点的距离为48；

③ $A\text{'}C-B\text{'}C$ 的最大值为15；

④ $A\text{'}C+B\text{'}C$ 的最小值为 $9\sqrt{17}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

1

如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到△，的延长线交边于点，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接，分别交，于点，．若，求的值．