初中数学解直角三角形的应用试题

如图，某办公楼 $\mathit{AB}$的后面有一建筑物 $\mathit{CD}$，当光线与地面的夹角是 $22°$时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子 $\mathit{CE}$，而当光线与地面夹角是 $45°$时，办公楼顶 $A$在地面上的影子 $F$与墙角 $C$有25米的距离（ $B$， $F$， $C$在一条直线上）．

（1）求办公楼 $\mathit{AB}$的高度；

（2）若要在 $A$， $E$之间挂一些彩旗，请你求出 $A$， $E$之间的距离．

（参考数据： $\sin 22°\approx \frac{3}{8}$， $\cos 22°\approx \frac{15}{16}$， $\tan 22°\approx \frac{2}{5})$

如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心 $A$处修建通往百米观景长廊 $\mathit{BC}$的两条栈道 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$．若 $\angle B=56°$， $\angle C=45°$，则游客中心 $A$到观景长廊 $\mathit{BC}$的距离 $\mathit{AD}$的长约为　     　米． $(\sin 56°\approx 0.8,\tan 56°\approx 1.5)$

如图，有一个三角形的钢架 $\mathit{ABC}$， $\angle A=30°$， $\angle C=45°$， $\mathit{AC}=2(\sqrt{3}+1)m$．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1m$的圆形门？

图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角 $\left(\theta \right)$确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $B$， $\mathit{EA}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $A$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{CD}=10\mathit{cm}$， $\mathit{DE}=120\mathit{cm}$， $\mathit{FG}\perp \mathit{DE}$，垂足为点 $G$．

（1）若 $\angle \theta =37°50\text{'}$，则 $\mathit{AB}$的长约为　　 $\mathit{cm}$；

（参考数据： $\sin 37°50\text{'}\approx 0.61$， $\cos 37°50\text{'}\approx 0.79$， $\tan 37°50\text{'}\approx 0.78)$

（2）若 $\mathit{FG}=30\mathit{cm}$， $\angle \theta =60°$，求 $\mathit{CF}$的长．

把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， $\angle \mathit{CAB}=60°$，若量出 $\mathit{AD}=6\mathit{cm}$，则圆形螺母的外直径是 $($　　 $)$

A． $12\mathit{cm}$B． $24\mathit{cm}$C． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $12\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路 $10m$的 $A$处，测得一辆汽车从 $B$处行驶到 $C$处所用时间为0.9秒，已知 $\angle B=30°$， $\angle C=45°$．

（1）求 $B$， $C$之间的距离；（保留根号）

（2）如果此地限速为 $80\mathit{km}/h$，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.7$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，一棵与地面垂直的笔直大树 $\mathit{AB}$，在点 $C$被大风折断后， $\mathit{AC}$部分倒下，树的顶点 $A$与斜坡 $\mathit{DF}$上的点 $G$重合 $(\mathit{BC}$， $\mathit{CG}$都保持笔直），经测量 $\mathit{DG}=2m$， $\mathit{BD}=3m$， $\angle \mathit{EDF}=30°$， $\angle \mathit{BCG}=60°$，求 $\mathit{CG}$的长． $(\sqrt{3}\approx 1.73$，精确到 $0.1m)$

在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 $A$， $B$两个凉亭之间的距离．如图，现测得 $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\angle \mathit{CAB}=15°$， $\mathit{AC}=200$米，请计算 $A$， $B$两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 $C$，在岸边搭建了三个看台 $A$， $B$， $D$，其中 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上，看台 $A$， $B$到舞台 $C$的距离相等，测得 $\angle A=30°$， $\angle D=45°$， $\mathit{AB}=60m$，小明、小丽分别在 $B$， $D$看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 $C$的距离．（结果保留根号）

某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆 $\mathit{AB}$的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 $\mathit{BC}$为4米，落在斜坡上的影长 $\mathit{CD}$为3米， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，同一时刻，光线与水平面的夹角为 $72°$，1米的竖立标杆 $\mathit{PQ}$在斜坡上的影长 $\mathit{QR}$为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sin 72°\approx 0.95$， $\cos 72°\approx 0.31$， $\tan 72°\approx 3.08)$

如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形 $\mathit{ABCD}$，其中 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CD}=15\mathit{mm}$， $\angle C=53°$，刀鞘的边缘 $\mathit{MN}//\mathit{PQ}$，刀刃 $\mathit{BC}$与刀鞘边缘 $\mathit{PQ}$相交于点 $O$，点 $A$恰好落在刀鞘另一边缘 $\mathit{MN}$上时， $\angle \mathit{COP}=37°$， $\mathit{OC}=50\mathit{mm}$，

（1）求刀片宽度 $h$．

（2）若刀鞘宽度为 $14\mathit{mm}$，求刀刃 $\mathit{BC}$的长度．（结果精确到 $0.1\mathit{mm})$（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

$A$， $B$两地被大山阻隔，若要从 $A$地到 $B$地，只能沿着如图所示的公路先从 $A$地到 $C$地，再由 $C$地到 $B$地．现计划开凿隧道 $A$， $B$两地直线贯通，经测量得： $\angle \mathit{CAB}=30°$， $\angle \mathit{CBA}=45°$， $\mathit{AC}=20\mathit{km}$，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 $A$地到 $B$地的路程将缩短多少？（结果精确到 $0.1\mathit{km}$，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

公交总站 $(A$点）与 $B$、 $C$两个站点的位置如图所示，已知 $\mathit{AC}=6\mathit{km}$， $\angle B=30°$， $\angle C=15°$，求 $B$站点离公交总站的距离即 $\mathit{AB}$的长（结果保留根号）．

图中是抛物线拱桥， $P$处有一照明灯，水面 $\mathit{OA}$宽 $4m$，从 $O$、 $A$两处观测 $P$处，仰角分别为 $\alpha$、 $\beta$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{3}{2}$，以 $O$为原点， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴建立直角坐标系．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）水面上升 $1m$，水面宽多少 $(\sqrt{2}$取1.41，结果精确到 $0.1m)$？

小宇想测量位于池塘两端的 $A$、 $B$两点的距离．他沿着与直线 $\mathit{AB}$平行的道路 $\mathit{EF}$行走，当行走到点 $C$处，测得 $\angle \mathit{ACF}=45°$，再向前行走100米到点 $D$处，测得 $\angle \mathit{BDF}=60°$．若直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{EF}$之间的距离为60米，求 $A$、 $B$两点的距离．