初中数学解直角三角形的应用试题

如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 $\mathit{ABCD})$靠墙摆放，高 $\mathit{AD}=80\mathit{cm}$，宽 $\mathit{AB}=48\mathit{cm}$，小强身高 $166\mathit{cm}$，下半身 $\mathit{FG}=100\mathit{cm}$，洗漱时下半身与地面成 $80°(\angle \mathit{FGK}=80°)$，身体前倾成 $125°(\angle \mathit{EFG}=125°)$，脚与洗漱台距离 $\mathit{GC}=15\mathit{cm}$（点 $D$， $C$， $G$， $K$在同一直线上）．

（1）此时小强头部 $E$点与地面 $\mathit{DK}$相距多少？

（2）小强希望他的头部 $E$恰好在洗漱盆 $\mathit{AB}$的中点 $O$的正上方，他应向前或后退多少？

$(\sin 80°\approx 0.98$， $\cos 80°\approx 0.17$， $\sqrt{2}\approx 1.41$，结果精确到 $0.1)$

保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 $30\mathit{cm}$，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 $B$，肘关节 $C$和笔端 $A$的位置关系抽象成图2的 $\mathit{\Delta ABC}$，已知 $\mathit{BC}=30\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=22\mathit{cm}$， $\angle \mathit{ACB}=53°$，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6$， $\tan 53°\approx 1.3)$

一座楼梯的示意图如图所示， $\mathit{BC}$是铅垂线， $\mathit{CA}$是水平线， $\mathit{BA}$与 $\mathit{CA}$的夹角为 $\theta$．现要在楼梯上铺一条地毯，已知 $\mathit{CA}=4$米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{\sin \theta }$米 ${}^2$B． $\frac{4}{\cos \theta }$米 ${}^2$C． $(4+\frac{4}{\tan \theta })$米 ${}^2$D． $(4+4\tan \theta )$米 ${}^2$

太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面 $\mathit{\Delta ABC}$如图2所示， $\mathit{BC}=10$米， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=36°$，改建后顶点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求改建后南屋面边沿增加部分 $\mathit{AD}$的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 18°\approx 0.31$， $\cos 18°\approx 0.95$． $\tan 18°\approx 0.32$， $\sin 36°\approx 0.59$． $\cos 36°\approx 0.81$， $\tan 36°\approx 0.73)$

如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 $A$处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 $30°$角，线段 $A{A}_1$表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离 $\mathit{AC}=18$米时，求此时风筝线 $\mathit{AD}$的长度；

（2）当她从点 $A$跑动 $9\sqrt{2}$米到达点 $B$处时，风筝线与水平线构成 $45°$角，此时风筝到达点 $E$处，风筝的水平移动距离 $\mathit{CF}=10\sqrt{3}$米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 $C_{1}D$．

某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由 $45°$调为 $30°$，如图，已知原滑滑板 $\mathit{AB}$的长为4米，点 $D$， $B$， $C$在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 $A$，又在河的另一岸边取两点 $B$、 $C$测得 $\angle \alpha =30°$， $\angle \beta =45°$，量得 $\mathit{BC}$长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 $l$，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米 $/$小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$上确定 $A$， $B$两点，并在 $\mathit{AB}$路段进行区间测速．在 $l$外取一点 $P$，作 $\mathit{PC}\perp l$，垂足为点 $C$．测得 $\mathit{PC}=30$米， $\angle \mathit{APC}=71°$， $\angle \mathit{BPC}=35°$．上午9时测得一汽车从点 $A$到点 $B$用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sin 71°\approx 0.95$， $\cos 71°\approx 0.33$， $\tan 71°\approx 2.90)$

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

如图，为了测量某条河的对岸边 $C$， $D$两点间的距离．在河的岸边与 $\mathit{CD}$平行的直线 $\mathit{EF}$上取两点 $A$， $B$，测得 $\angle \mathit{BAC}=45°$， $\angle \mathit{ABC}=37°$， $\angle \mathit{DBF}=60°$，量得 $\mathit{AB}$长为70米．求 $C$， $D$两点间的距离（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$．

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$都与地面 $l$平行，车轮半径为 $32\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BCD}=64°$， $\mathit{BC}=60\mathit{cm}$，坐垫 $E$与点 $B$的距离 $\mathit{BE}$为 $15\mathit{cm}$．

（1）求坐垫 $E$到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫 $E$到 $\mathit{CD}$的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 $80\mathit{cm}$，现将坐垫 $E$调整至坐骑舒适高度位置 $E^{\text{'}}$，求 $\mathit{EE}\text{'}$的长．

（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$，参考数据： $\sin 64°\approx 0.90$， $\cos 64°\approx 0.44$， $\tan 64°\approx 2.05)$

如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 $A$， $B$两个探测点探测到地下 $C$处有生命迹象．已知 $A$， $B$两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是 $30°$和 $45°$，试确定生命所在点 $C$的深度（结果保留根号）．

如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在 $A$处观测对岸点 $C$，测得 $\angle \mathit{CAD}=45°$，小英同学在距点 $A$处60米远的 $B$点测得 $\angle \mathit{CBD}=30°$，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米， $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$．

如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为 $60°$，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是　         　米（结果保留根号）．

如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段 $\mathit{AC}$上的 $A$， $B$两点分别对南岸的体育中心 $D$进行测量，分别测得 $\angle \mathit{DAC}=30°$， $\angle \mathit{DBC}=60°$， $\mathit{AB}=200$米，求体育中心 $D$到湟水河北岸 $\mathit{AC}$的距离约为多少米（精确到1米， $\sqrt{3}\approx 1.732$）？