初中数学解直角三角形的应用-方向角问题计算题

为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道 $\mathit{AB}$由西向东行驶．在 $A$处测得岸边一建筑物 $P$在北偏东 $30°$方向上，继续行驶40秒到达 $B$处时，测得建筑物 $P$在北偏西 $60°$方向上，如图所示，求建筑物 $P$到赛道 $\mathit{AB}$的距离（结果保留根号）．

如图，一艘海轮位于灯塔 $C$的北偏东 $45°$方向，距离灯塔100海里的 $A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $C$的南偏东 $30°$方向上的 $B$处，求此时船距灯塔的距离（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$，结果取整数）．

如图所示，为测量旗台 $A$与图书馆 $C$之间的直线距离，小明在 $A$处测得 $C$在北偏东 $30°$方向上，然后向正东方向前进100米至 $B$处，测得此时 $C$在北偏西 $15°$方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据 $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$）

如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在 $A$处测得北偏东 $30°$方向距离为40海里的 $B$处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东 $75°$方向前往监视巡查，经过一段时间在 $C$处成功拦截可疑船只．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$的度数；

（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即 $\mathit{AC}$长）？（结果精确到0.1海里， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

如图， 小明家在学校 $O$的北偏东 $60°$方向， 距离学校 80 米的 $A$处， 小华家在学校 $O$的南偏东 $45°$方向的 $B$处， 小华家在小明家正南方向， 求小华家到学校的距离 ． （结 果精确到 1 米， 参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图，海上观察哨所 $B$位于观察哨所 $A$正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所 $A$与哨所 $B$同时发现一走私船，其位置 $C$位于哨所 $A$北偏东 $53°$的方向上，位于哨所 $B$南偏东 $37°$的方向上．

（1）求观察哨所 $A$与走私船所在的位置 $C$的距离；

（2）若观察哨所 $A$发现走私船从 $C$处以16海里 $/$小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 $76°$的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 $D$处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据： $\sin 37°=\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°=\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$， $\tan 76°\approx 4)$

如图，一艘海轮位于灯塔 $P$的东北方向，距离灯塔80海里的 $A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$的南偏东 $30°$方向上的 $B$处．

（1）求海轮从 $A$处到 $B$处的途中与灯塔 $P$之间的最短距离（结果保留根号）；

（2）若海轮以每小时30海里的速度从 $A$处到 $B$处，试判断海轮能否在5小时内到达 $B$处，并说明理由．

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

一艘渔船位于港口 $A$的北偏东 $60°$方向，距离港口20海里 $B$处，它沿北偏西 $37°$方向航行至 $C$处突然出现故障，在 $C$处等待救援， $B$， $C$之间的距离为10海里，救援船从港口 $A$出发20分钟到达 $C$处，求救援的艇的航行速度． $(\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sqrt{3}\approx 1.732$，结果取整数）

如图是某区域的平面示意图，码头 $A$ 在观测站 $B$ 的正东方向，码头 $A$ 的北偏西 $60°$ 方向上有一小岛 $C$ ，小岛 $C$ 在观测站 $B$ 的北偏西 $15°$ 方向上，码头 $A$ 到小岛 $C$ 的距离 $\mathit{AC}$ 为10海里．

（1）填空： $\angle \mathit{BAC}=$ 　        　度， $\angle C=$ 　       　度；

（2）求观测站 $B$ 到 $\mathit{AC}$ 的距离 $\mathit{BP}$ （结果保留根号）．

一艘轮船位于灯塔 $P$南偏西 $60°$方向，距离灯塔20海里的 $A$处，它向东航行多少海里到达灯塔 $P$南偏西 $45°$方向上的 $B$处（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$，结果精确到 $0.1)$？

南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 $B$处时，测得该岛位于正北方向 $20(1+\sqrt{3})$海里的 $C$处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 $A$处的渔监船前往 $C$处护航，已知 $C$位于 $A$处的北偏东 $45°$方向上， $A$位于 $B$的北偏西 $30°$的方向上，求 $A$、 $C$之间的距离．

如图，港口 $B$位于港口 $A$的南偏东 $37°$方向，灯塔 $C$恰好在 $\mathit{AB}$的中点处．一艘海轮位于港口 $A$的正南方向，港口 $B$的正西方向的 $D$处，它沿正北方向航行 $5\mathit{km}$到达 $E$处，测得灯塔 $C$在北偏东 $45°$方向上，这时， $E$处距离港口 $A$有多远？（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，湿地景区岸边有三个观景台 $A$、 $B$、 $C$．已知 $\mathit{AB}=1400$米， $\mathit{AC}=1000$米， $B$点位于 $A$点的南偏西 $60.7°$方向， $C$点位于 $A$点的南偏东 $66.1°$方向．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）景区规划在线段 $\mathit{BC}$的中点 $D$处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 $\mathit{AD}$．试求 $A$、 $D$间的距离．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 53.2°\approx 0.80$， $\cos 53.2°\approx 0.60$， $\sin 60.7°\approx 0.87$， $\cos 60.7°\approx 0.49$， $\sin 66.1°\approx 0.91$， $\cos 66.1°\approx 0.41$， $\sqrt{2}\approx 1.414)$．

如图，大海中某灯塔 $P$周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$处观察灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$处，这时观察灯塔 $P$恰好在北偏东 $45°$方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$