初中数学解直角三角形的应用-方向角问题试题

如图，海中有一个小岛 $A$．一艘轮船由西向东航行，在 $B$点测得小岛 $A$在北偏东 $60°$方向上；航行 $12\mathit{nmile}$到达 $C$点，这时测得小岛 $A$在北偏东 $30°$方向上．小岛 $A$到航线 $\mathit{BC}$的距离是 　　 $\mathit{nmile}(\sqrt{3}\approx 1.73$，结果用四舍五入法精确到 $0.1)$．

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 $A$地出发，途经 $B$地去往 $C$地，如图．当他由 $A$地出发时，发现他的北偏东 $45°$方向有一信号发射塔 $P$．他由 $A$地沿正东方向骑行 $4\sqrt{2}\mathit{km}$到达 $B$地，此时发现信号塔 $P$在他的北偏东 $15°$方向，然后他由 $B$地沿北偏东 $75°$方向骑行 $12\mathit{km}$到达 $C$地．

（1）求 $A$地与信号发射塔 $P$之间的距离；

（2）求 $C$地与信号发射塔 $P$之间的距离．（计算结果保留根号）

某海域有一小岛 $P$，在以 $P$为圆心，半径 $r$为 $10(3+\sqrt{3})$海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$处测得小岛 $P$位于北偏东 $60°$的方向上，当海监船行驶 $20\sqrt{2}$海里后到达 $B$处，此时观测小岛 $P$位于 $B$处北偏东 $45°$方向上．

（1）求 $A$， $P$之间的距离 $\mathit{AP}$；

（2）若海监船由 $B$处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 $B$处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

小明在 $A$点测得 $C$点在 $A$点的北偏西 $75°$方向，并由 $A$点向南偏西 $45°$方向行走到达 $B$点测得 $C$点在 $B$点的北偏西 $45°$方向，继续向正西方向行走 $2\mathit{km}$后到达 $D$点，测得 $C$点在 $D$点的北偏东 $22.5°$方向，求 $A$， $C$两点之间的距离．（结果保留 $0.1\mathit{km}$．参数数据 $\sqrt{3}\approx 1.732)$

在一次海上救援中，两艘专业救助船 $A$、 $B$同时收到某事故渔船 $P$的求救讯息，已知此时救助船 $B$在 $A$的正北方向，事故渔船 $P$在救助船 $A$的北偏西 $30°$方向上，在救助船 $B$的西南方向上，且事故渔船 $P$与救助船 $A$相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船 $P$与救助船 $B$之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船 $A$、 $B$分别以40海里 $/$小时，30海里 $/$小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 $P$处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的点测得河西岸边的标志物在它的正西方向，然后从点出发沿河岸向正北方向行进550米到点处，测得在点的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：，）

如图，一艘轮船离开 $A$港沿着东北方向直线航行 $60\sqrt{2}$海里到达 $B$处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达 $C$处，求 $\mathit{AC}$的距离．

如图，机器人从A点沿着西南方向行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为        ．（结果保留根号）

时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口 $A$ 处向正南方向走300米到达革命纪念碑 $B$ 处，再从 $B$ 处向正东方向走到党史纪念馆 $C$ 处，然后从 $C$ 处向北偏西 $37°$ 方向走200米到达人民英雄雕塑 $D$ 处，最后从 $D$ 处回到 $A$ 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 $65°$ 方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sin 65°\approx 0.91$ ， $\cos 65°\approx 0.42$ ， $\tan 65°\approx 2.14)$

小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在 $A$ 处时， $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了 $600m$ 到达 $B$ 处时， $E$ 处图书馆在他的北偏东 $15°$ 方向，然后他由 $B$ 处继续向正东方向跑 $600m$ 到达 $C$ 处，此时 $D$ 处学校在他的北偏西 $63.4°$ 方向，求 $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆之间的距离．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 63.4°\approx 0.9$ ， $\cos 63.4°\approx 0.4$ ， $\tan 63.4°\approx 2.0$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4$ ， $\sqrt{3}\approx 1.7$ ， $\sqrt{6}\approx 2.4)$

小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在 $A$处看到 $B$、 $C$处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在 $A$处测得 $B$在北偏西 $45°$方向， $C$在北偏东 $30°$方向，他从 $A$处走了20米到达 $B$处，又在 $B$处测得 $C$在北偏东 $60°$方向．

（1）求 $\angle C$的度数；

（2）求两颗银杏树 $B$、 $C$之间的距离（结果保留根号）．

某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $A$ 处的济南舰突然发现北偏西 $30°$ 方向上的 $C$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $B$ 处的西安舰，西安舰测得 $C$ 处位于其北偏西 $60°$ 方向上，请问此时两舰距 $C$ 处的距离分别是多少？

如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边 $B$ 处测得对岸边 $A$ 处一棵大树位于北偏东 $60°$ 方向，他以 $1.5m/s$ 的速度沿着河岸向东步行 $40s$ 后到达 $C$ 处，此时测得大树位于北偏东 $45°$ 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，一艘货船在灯塔 $C$ 的正南方向，距离灯塔257海里的 $A$ 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔 $C$ 的南偏东 $40°$ 方向上，同时位于 $A$ 处的北偏东 $60°$ 方向上的 $B$ 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求 $\mathit{AB}$ 的长（结果取整数）参考数据： $\tan 40°\approx 0.84$ ， $\sqrt{3}$ 取1.73．

如图， $A$， $B$是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 $C$点处遇险发出求救信号，此时测得 $C$点位于观测点 $A$的北偏东 $45°$方向上，同时位于观测点 $B$的北偏西 $60°$方向上，且测得 $C$点与观测点 $A$的距离为 $25\sqrt{2}$海里．

（1）求观测点 $B$与 $C$点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点 $B$的正南方向且与观测点 $B$相距30海里的 $D$点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里 $/$小时，求救援船到达 $C$点需要的最少时间．