初中数学三角形的五心计算题

数学课上，张老师出示了问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点．，且DE交△ABC外角的平分线CE于点E，求证：AD=DE．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接MD，则△BMD是等边三角形，易证△AMD≌△DCE，所以AD=DE．在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点D是边BC的中点”改为“点D是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AD=DE”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小亮提出：如图3，点D是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AD=DE”仍然成立．你认为小华的观点          (填“正确”或“不正确”)．

如图，在直角中，∠C=90°，DC = 2，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AB．求∠B的度数和DB的长．

如图，点是的中点，，.求证：△≌△.

如图，在△ABC中，BE、CD相交于点E.设∠A=2∠ACD=70°，∠2=140°.
求∠1和∠DBE的度数。

已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．

如图，已知AC与BD相交于点E，DE＝CE，AE＝BE求证：∠A＝∠B

如图，△ABD ≌△EBD, △DBE ≌△DCE, B, E, C在一条直线上.

BD是∠ABE的平分线吗？为什么
DE⊥BC，BE=EC吗？为什么

如图，已知△ABC，请你按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹）.
（1）作出的平分线BD；
（2）作出BC边上的垂直平分线EF.

如图10，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

计算：①；  ②

计算：

如图，在三角形ABC中，AB=AC=13，AD、BE是高，AD=12。
（1）求BC的长；（3分。）
（2）求DE的长；（2分。）
（3）求BE的长。（2分。）

如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
(1). 水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
(2). 如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．