初中数学解答题

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2,\mathit{BC}$边上有 $100$个不同点， $P_1,P_2,P_3\cdots ,P_{100}$，记 $m_i=A{P}_i^2+P_{i}B\cdot P_{i}C\left(i=1,2,\cdots ,100\right)$，求 $m_1+m_2+\cdots +m_{100}$的值.

如图。（1）如图①以 $△\mathit{ABC}$的边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$为边分别向外作正方形 $\mathit{ABDE}$和正方形 $\mathit{ACFG}$，连接 $\mathit{EG}$，试判断 $△\mathit{ABC}$与 $△\mathit{AEG}$面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图②所示。小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 $a{\text{m}}^2$，内圈的所有三角形的面积之和是 $b{\text{m}}^2$，这条小路一共占地多少 $m^2$?

如图， $A,B,C$三个村庄在同一条东西方向的公路沿线上， $\mathit{AB}=2\text{km}$， $\mathit{BC}=3\text{km}$，在 $B$村的正北方有一个 $D$村，测得 $\angle \mathit{ADC}=45°$，今将 $\mathit{ADC}$区域规划为开发区，除其中 $4k{m}^2$的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少?

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\angle B=2\angle C$，点 $D$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{BD}$的长.

$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\mathrm{，}y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\mathrm{，}n$为自然数，如果 $2x^2+225\mathit{xy}+2y^2=2021$成立，求 $n$的值.

若 $m=\frac{2021}{\sqrt{2022}-1}$，求 $m^5-2m^4-2021m^3$的值.

先化简再求值: $\left(\frac{a-2}{a^2+2a}-\frac{a-1}{a^2+4a+4}\right)÷\frac{a-4}{a+2}$，其中 $a=\sqrt{2}-1$.

化简: $\sqrt{37+20\sqrt{3}}+\sqrt{37-20\sqrt{3}}$.

设 $x=\frac{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}\mathrm{，}y=\frac{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}\mathrm{，}t$为何值时，代数式 $20x^2+41\mathit{xy}+20y^2$的值为 $2001$.

（1）化简: $\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}$;

（2）设 $a=\frac{16}{\sqrt{17}+1}$，求 $a^5+2a^4-17a^3-a^2+18a-17$的值.

正数 $m\mathrm{，}n$满足 $m+4\sqrt{\mathit{mn}}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n=3$，求 $\frac{\sqrt{m}+2\sqrt{n}-8}{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2022}$的值.

计算与求值.

（1）已知 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求 $\frac{a^2-2a+1}{a-1}-\frac{\sqrt{a^2-2a+1}}{a^2-a}$的值.

（2）计算: $\frac{\left(2^4+\frac{1}{4}\right)\left(4^4+\frac{1}{4}\right)\left(6^4+\frac{1}{4}\right)\left(8^4+\frac{1}{4}\right)\left({10}^4+\frac{1}{4}\right)}{\left(1^4+\frac{1}{4}\right)\left(3^4+\frac{1}{4}\right)\left(5^4+\frac{1}{4}\right)\left(7^4+\frac{1}{4}\right)\left(9^4+\frac{1}{4}\right)}$.

已知 $\sqrt{x}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\left(0<a<1\right)$，求代数式 $\frac{x^2+x-6}{x}÷\frac{x+3}{x^2-2x}-\frac{x-2+\sqrt{x^2-4x}}{x-2-\sqrt{x^2-4x}}$的值.

已知正实数 $a\mathrm{，}b$满足： $a+b=1$，且 $\frac{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}+\frac{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}=-4$，求 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的值.

（1）先化简再求值： $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}÷\left(1-\frac{a^2+b^2}{2\mathit{ab}}\right)$，其中 $a=2+\sqrt{3}\mathrm{，}b=2-\sqrt{3}$

（2）已知 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为 $△\mathit{ABC}$的三边，化简： $\sqrt{{\left(a+b+c\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-b-c\right)}^2}+\sqrt{{\left(b-a-c\right)}^2}$.