全国重点高中提前招生真题过关（十一）

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A,B,C$为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$上不同的三点，连接 $\mathit{OA},\mathit{OB},\mathit{OC}$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp y$轴于点 $D$，过点 $B,C$分别作 $\mathit{BE},\mathit{CF}$垂直 $x$轴于点 $E,F,\mathit{OC}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $M$，记 $△\mathit{AOD},△\mathit{BOM}$，四边形 $\mathit{CMEF}$的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，则（ ）

如图，点 $A,B$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象上， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C,\mathit{BD}\perp x$轴于点 $D,\mathit{BE}\perp y$轴于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$.若 $\mathit{OE}=1,\mathit{OC}=\frac{2}{3}\mathit{OD},\mathit{AC}=\mathit{AE}$，则 $k$的值为（）

如图，两个反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$和 $y=\frac{k_2}{x}$（其中 $k_1>k_2>0$）在第一象限内的图象依次是 $C_1$和 $C_2$，设点 $P$在 $C_1$上， $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交 $C_2$于点 $A,\mathit{PD}\perp y$轴于点 $D$，交 $C_2$于点 $B$，则四边形 $\mathit{PAOB}$的面积为（ ）

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}\perp y$轴，垂足为 $E$，顶点 $A$在第二象限，顶点 $B$在 $y$轴正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$的图象同时经过顶点 $C,D$.若点 $C$的横坐标为 $5,\mathit{BE}=2\mathit{DE}$，则 $k$的值为（ ）

如图， $△\mathit{AOB}$和 $△\mathit{ACD}$均为正三角形，且顶点 $B$， $D$均在双曲线 $y=\frac{4}{x}(x>0)$上，则图中 $S_{△\mathit{OBP}}$为（）

如图，点 $A$是反比例函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$的图象上任意一点， $\mathit{AB}//x$轴交反比例函数 $y=-\frac{3}{x}$的图象于点 $B$，以 $\mathit{AB}$为边作 $▱\mathit{ABCD}$，其中 $C,D$在 $x$轴上，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{ABCD}}$为（ ）

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，平行四边形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$在反比例函数 $y=\frac{1}{2x}$的图象上，顶点 $B$在反比例函数 $y=\frac{5}{x}$的图象上，点 $C$在 $x$轴的正半轴上，则平行四边形 $\mathit{OABC}$的面积是（ ）

如图，点 $P$是函数 $y=\frac{k_1}{x}\left(k_1>0,x>0\right)$的图象上一点，过点 $P$分别作 $x$轴和 $y$轴的垂线，垂足分别为点 $A,B$，交函数 $y=\frac{k_2}{x}\left(k_2>0,x>0\right)$的图象于点 $C,D$，连接 $\mathit{OC},\mathit{OD},\mathit{CD},\mathit{AB}$，其中 $k_1>k_2$.给出下列结论:① $\mathit{CD}//\mathit{AB}$；② $S_{△\mathit{OCD}}=\frac{k_1-k_2}{2}$；③ $S_{△\mathit{DCP}}=\frac{{\left(k_1-k_2\right)}^2}{2k_1}$，其中正确的是（ ）

已知点 $A\left(a,y_1\right),B\left(a+1,y_2\right)$在反比例函数 $y=\frac{m^2+1}{x}$（ $m$是常数）的图象上，且 $y_1<y_2$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 $A\left(x,y\right)$，我们把点 $B\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)$称为点 $A$的“倒数点”.如图，矩形 $\mathit{OCDE}$的顶点 $C$为 $\left(3,0\right)$，顶点 $E$在 $y$轴上，函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$的图象与 $\mathit{DE}$交于点 $A$.若点 $B$是点 $A$的“倒数点”，且点 $B$在矩形 $\mathit{OCDE}$的一边上，则 $△\mathit{OBC}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图，点 $A,B$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象上，且点 $A,B$的横坐标分别为 $a$和 $2a(a>0),\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $C,△\mathit{AOC}$的面积为 $2$，则 $△\mathit{AOB}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图，已知直线 $y=\mathit{kx}(k>0)$分别交反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=\frac{4}{x}$在第一象限的图象于点 $A,B$，过点 $B$作 $\mathit{BD}\perp x$轴于点 $D$，交 $y=\frac{1}{x}$图象于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$，若 $△\mathit{ABC}$是等腰三角形，则 $k$的值是＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$是等腰三角形， $\mathit{AB}$过原点 $O$，底边 $\mathit{BC}//x$轴，双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 过 $A$， $B$两点，过点 $C$作 $\mathit{CD}//y$轴交双曲线于点 $D$，若 $S_{△\mathit{BCD}}=8$，则 $k$的值是＿＿＿＿＿.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在第二象限 $y=\frac{k}{x}$的图象上，点 $B$，点 $C$分别在 $x$轴， $y$轴负半轴上，点 $D$在第一象限直线 $y=x$的图象上，若 $S_{\mathit{阴影}}=\frac{2}{3}$，则 $k$的值为＿＿＿＿＿.

如图所示，点 $A,C$都在函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$的图象上，点 $B,D$都在 $x$轴上.且使得 $△\mathit{OAB}$， $△\mathit{BCD}$都是等腰直角三角形，则点 $D$的坐标为＿＿＿＿＿.

如图，已知点 $\left(1,3\right)$在函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上.正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，点 $E$是对角线 $\mathit{BD}$的中点，函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象又经过 $A,E$两点，则点 $E$的横坐标为＿＿＿＿＿.

如图，正比例函数 $y=x$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $A\left(1,a\right)$.在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $C$坐标为 $\left(-2,0\right)$.

（1）求 $k$的值；

（2）求 $\mathit{AB}$所在直线的解析式.

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=2x$的图象 $l$与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象（记为 $\text{Γ})$交于点 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp y$轴于点 $B$，且 $\mathit{AB}=1$，点 $C$在线段 $\mathit{OB}$上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$，过点 $C$作直线 $l_1//x$轴，交 $l$于点 $D$，交图象 $\text{Γ}$于点 $E$.

（1）求 $k$的值，并且用含 $t$的式子表示点 $D$的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE},\mathit{BE},\mathit{AE}$，记 $△\mathit{OBE},△\mathit{ADE}$的面积分别为 $S_1,S_2$，设 $U=S_1-S_2$，求 $U$的最大值.

如图， $△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{ABO}={90}^{\circ }$，边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过斜边 $\mathit{OA}$的中点 $M$，与 $\mathit{AB}$相交于点N， $S_{△\mathit{AOB}}=12,\mathit{AN}=\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{MN}$的解析式.

如图，在平面直角坐标系中。已知四边形 $ABCD$为菱形，且 $A\left(0,3\right),B\left(-4.0\right)$.

（1）求过点 $C$的反比例函数解析式；

（2）设直线 $l$与（1）中所求函数图象相切，且与 $x$轴， $y$轴的交点分别为 $M,N.O$为坐标原点.求证: $△\mathit{OMN}$的面积为定值.

如图，在矩形 $\mathit{AOBC}$中，已知 $B\left(4,0\right),A\left(0,3\right),F$是边 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B,C$ 重合），过 $F$点的反比例函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与 $\mathit{AC}$边交于点 $E$.

（1）求证: $△\mathit{AOE}$与 $△\mathit{BOF}$的面积相等；

（2）记 $S=S_{△\mathit{OEF}}-S_{△\mathit{ECF}}$，求当 $k$为何值时， $S$有最大值，最大值为多少?

如图，点 $P$为 $x$轴负半轴上的一个点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，交函数 $y=-\frac{1}{x}$的图象于点 $A$，交函数 $y=-\frac{4}{x}$的图象于点 $B$，过点 $B$作 $x$轴的平行线，交 $y=-\frac{1}{x}$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）当点 $P$的坐标为 $\left(-1,0\right)$时，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，求点 $A$的坐标；

（3）连接 $\mathit{OA}$和 $\mathit{OC}$.当点 $P$的坐标为 $\left(t,0\right)$时， $△\mathit{OAC}$的面积是否随 $t$的值的变化而变化?请说明理由.

已知直线 $y=x$上点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//y$轴交 $x$轴于点 $D$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $B$，过点 $C$作 $\mathit{NC}//x$轴交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $E$，若 $B$是 $\mathit{CD}$的中点，且四边形 $\mathit{OBCE}$的面积为 $\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）若 $A\left(3,3\right),M$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$第一象限上的任一点，求证: $\mathrm{}\left|\mathit{MC}\right|-\left|\mathit{MA}\right|$为常数6；

（3）现在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上选一处 $M$建一座码头，向 $A\left(3,3\right),P\left(9,6\right)$两地转运货物，经测算，从 $M$到 $A$，从 $M$到 $P$修建公路的费用都是每单位长度 $a$万元，则码头 $M$应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）