【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（十八）

如图所示，在四边形 $\mathrm{ABCD}$中， $\mathrm{M}\mathrm{，}\mathrm{N}$分别是 $\mathrm{AB}\mathrm{，}\mathrm{CD}$的中点， $\mathrm{AN}\mathrm{，}\mathrm{BN}\mathrm{，}\mathrm{DM}\mathrm{，}\mathrm{CM}$划分四边形所成的 $7$个区域的面积分别为 ${\mathrm{S}}_1\mathrm{，}{\mathrm{S}}_2\mathrm{，}{\mathrm{S}}_3\mathrm{，}{\mathrm{S}}_4\mathrm{，}{\mathrm{S}}_5\mathrm{，}{\mathrm{S}}_6\mathrm{，}{\mathrm{S}}_7$，那么，恒成立的关系式为（ ）

已知菱形 $\mathrm{ABCD}$的两条对角线 $\mathrm{AC}\mathrm{，}\mathrm{BD}$的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是（ ）

如图所示， $△\mathrm{OAB}$中， $\angle \mathrm{O}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$，正方形 $\mathrm{CDEF}$的顶点 $\mathrm{C}$在 $\mathrm{OA}$上，点 $\mathrm{D}$在 $\mathrm{OB}$上，点 $\mathrm{F}$在 $\mathrm{AB}$上，如果正方形 $\mathrm{CDEF}$的面积是 $△\mathrm{AOB}$面积的 $\frac{2}{5}$，那么 $\mathrm{OC}\mathrm{：}\mathrm{OD}$等于（ ）

如图， $\mathrm{E}\mathrm{，}\mathrm{F}\mathrm{，}\mathrm{G}\mathrm{，}\mathrm{H}$分别是正方形 $\mathrm{ABCD}$的边 $\mathrm{AB}\mathrm{，}\mathrm{BC}\mathrm{，}\mathrm{CD}\mathrm{，}\mathrm{AD}$的中点，要使中间阴影部分的小正方形的面积为 $5$，则大正方形的边长应该是（ ）

如图所示，四边形 $\mathrm{ABCD}$的对角线 $\mathrm{AC}\mathrm{，}\mathrm{BD}$交于点 $\mathrm{O}\mathrm{，}{\mathrm{S}}_{△\mathrm{BDC}}=9\mathrm{，}{\mathrm{S}}_{△\mathrm{AOD}}=25$，则四边形 $\mathrm{ABCD}$的面积最小值是（ ）

已知一个正八边形最长的对角线等于 $\mathrm{a}$，最短的对角线等于 $\mathrm{b}$，则这个正八边形的面积等于（ ）

如图，矩形 $\mathrm{ABCD}$中，点 $\mathrm{E}\mathrm{，}\mathrm{F}\mathrm{，}\mathrm{G}\mathrm{，}\mathrm{H}$分别在边 $\mathrm{AB}\mathrm{，}\mathrm{BC}\mathrm{，}\mathrm{CD}\mathrm{，}\mathrm{DA}$上，点 $\mathrm{P}$在矩形 $\mathrm{ABCD}$内.若 $\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathrm{BC}=6\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathrm{AE}=\mathrm{CG}=3\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathrm{BF}=\mathrm{DH}=4\mathrm{cm}$，四边形 $\mathrm{AEPH}$的面积为 $5{\text{cm}}^2$，则四边形 $\mathrm{PFCG}$的面积为＿＿＿＿＿ ${\mathrm{cm}}^2$.

如图所示，已知 $△\mathrm{ABC}$中， $\mathrm{AD}\mathrm{，}\mathrm{BE}\mathrm{，}\mathrm{CF}$相交于点 $\mathrm{P}$，且 $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PF}}=2023$，则 $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}+\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}+\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PF}}=$＿＿＿＿＿.

如图，设 $\mathrm{D}\mathrm{，}\mathrm{E}\mathrm{，}\mathrm{F}$分别为 $△\mathrm{ABC}$的边 $\mathrm{BC}\mathrm{，}\mathrm{CA}\mathrm{，}\mathrm{AB}$上的点，且 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1\mathrm{，}\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=2\mathrm{，}\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=3\mathrm{，}{\mathrm{S}}_{△\mathrm{ABC}}=24$，则 $△\mathrm{DEF}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图所示，长方形 $\mathrm{ABCD}$的面积为 $48$, $\mathrm{E}\mathrm{，}\mathrm{F}$分别在 $\mathrm{BC}\mathrm{，}\mathrm{CD}$上，并且 $\mathrm{BE}=\mathrm{FD}=2$，那么 $△\mathrm{AEF}$的面积是＿＿＿＿＿.

如图所示， $△\mathrm{ABC}$的边 $\mathrm{AB}=2$， $\mathrm{AC}=3$，I，Ⅱ，Ⅲ分别表示以 $\mathrm{AB}$， $\mathrm{BC}$， $\mathrm{CA}$为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是＿＿＿＿＿.

一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半（如图）.若第 $1$个正方形的边长是 $1$，则生长到第 $4$次后，所得图形的面积是＿＿＿＿＿.

如图，已知 $△\mathrm{BOF}\mathrm{，}△\mathrm{BOD}\mathrm{，}△\mathrm{AOF}\mathrm{，}△\mathrm{COE}$的面积分别为 $30$， $35$， $40$， $84$，求 ${\mathrm{S}}_{△\mathrm{ABC}}$.

如图，四边形 $\mathrm{PQMN}$是 $\mathrm{}\mathrm{ABCD}$的内接四边形。

（1）若 $\mathrm{MP}//\mathrm{BC}$或 $\mathrm{NQ}//\mathrm{AB}$，求证 ${\mathrm{S}}_{\text{四边形}\text{PQMN}}=\frac{1}{2}{\mathrm{S}}_{\mathrm{◻ABCD}}$;

（2）若 ${\mathrm{S}}_{\text{四边形}\mathrm{PQMN}}=\frac{1}{2}{\mathrm{S}}_{\mathrm{◻ABCD}}$，问是否能推出 $\mathrm{MP}//\mathrm{BC}$或 $\mathrm{QN}//\mathrm{AB}$？证明你的结论.

如图，四边形 $\mathrm{EFGH}$是正方形 $\mathrm{ABCD}$的内接四边形， $\angle \mathrm{BEG}$与 $\angle \mathrm{CFH}$都是锐角，已知 $\mathrm{EG}=3\mathrm{，}\mathrm{FH}=4$，四边形 $\mathrm{EFGH}$的面积为 $5$.求正方形 $\mathrm{ABCD}$的面积.

问题探究：

（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形 $\mathrm{ABCD}$分成面积相等的两部分；

（2）如图②，点 $\mathrm{M}$是矩形 $\mathrm{ABCD}$内一点，请你在图②中过 $\mathrm{M}$点作一条直线，使它将矩形 $\mathrm{ABCD}$分成面积相等的两部分.

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系 $\mathrm{xOy}$中，多边形 $\mathrm{OAB}-\mathrm{CDE}$的顶点坐标分别是 $\mathrm{O}\mathrm{（}0\mathrm{，}0\mathrm{），}\mathrm{A}\mathrm{（}0\mathrm{，}6\mathrm{），}\mathrm{B}\mathrm{（}4\mathrm{，}6\mathrm{），}\mathrm{C}\mathrm{（}4\mathrm{，}4\mathrm{），}\mathrm{D}\mathrm{（}6\mathrm{，}4\mathrm{），}\mathrm{E}\mathrm{（}6\mathrm{，}0\mathrm{）}$.若直线 $\mathrm{l}$经过点 $\mathrm{M}\mathrm{（}2\mathrm{，}3\mathrm{）}$，且将多边形 $\mathrm{OABCDE}$分割成面积相等的两部分，求直线 $l$的函数表达式.

（1）如图①， $△\mathit{ABC}$的面积是 $10$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{AE}\mathrm{，}△\mathit{AEC}$的面积是＿＿＿＿＿.

（2）如图②，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是 $10$，点 $E\mathrm{，}F$分别是一组对边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AF}\mathrm{，}\mathit{CE}$，则四边形 $\mathit{AECF}$的面积是＿＿＿＿＿.

（3）如图③，点 $E\mathrm{，}F$分别是一组对边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$上的点，且 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CF}=\frac{1}{3}\mathit{CD}$，若四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是 $10$，连接 $\mathit{AF}\mathrm{，}\mathit{CE}$，则四边形 $\mathit{AECF}$的面积是＿＿＿＿＿.

（4）如图④， $\mathrm{◻}\mathit{ABCD}$的面积是 $2\mathrm{，}\mathit{AB}=a\mathrm{，}\mathit{BC}=b$，点 $E$从点 $A$出发沿 $\mathit{AB}$以每秒 $v$个单位长的速度向点 $B$运动，点 $F$从点 $B$出发沿 $\mathit{BC}$以每秒 $\frac{\mathit{bv}}{a}$个单位长的速度向点 $C$运动.点 $E\mathrm{，}F$分别从点 $A\mathrm{，}B$同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.请问四边形 $\mathit{DEBF}$的面积的值是否随着时间 $t$的变化而变化?若不变，请求出这个值；若变化，说明怎样变化的.