2008年全国统一高考理科数学试卷（辽宁卷）

已知集合 $M=\left\{\overline{)x}\frac{x+3}{x-1}<0\right\}$ ， $N=\left\{x\right|x\le -3\}$ ,则集合 $\left\{\overline{)x}x\ge 1\right\}$ ＝ （）

$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1+3+5+\dots +\left(2n-1\right)}{n\left(2n+1\right)}=$（）

圆 $x^2+y^2=1$与直线 $y=kx+2$没有公共点的充要条件是（  ）

复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2i}$的虚部是（）

已知 $O,A,B$是平面上的三个点，直线 $AB$上有一点 $C$，满足 $2\stackrel{\rightharpoonup }{AC}+\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=0$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{OC}=$（）

设 $P$为曲线 $C:y=x^2+2x+3$上的点，且曲线 $C$在点 $P$处切线的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则点 $P$横坐标的取值范围为（  ）

4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（   ）

将函数 $y=2^x+1$的图象按向量 $a$平移得到函数 $y=2^{x+1}$的图象，则（  ）

一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（  ）

已知点 $P$是抛物线 $y^2=2x$上的一个动点，则点 $P$到点(0，2的距离与 $P$到该抛物线准线的距离之和的最小值为（  ）

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $E$， $F$分别为棱 $A{A}_1$， $C{C}_1$中点，则在空间中与三条直线 $A_1{D}_1$， $EF$， $CD$都相交的直线（）

设 $f\left(x\right)$是连续的偶函数，且当 $x>0$时 $f\left(x\right)$是单调函数，则满足 $f\left(x\right)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$的所有 $x$之和为（）

函数 $y=\{\begin{array}{c}x+1,x<0\\ e^x,x\ge 0\end{array}$的反函数是．

在体积为 $4\sqrt{3}\pi$的球的表面上有 $A,B,C$三点， $AB=1$， $BC=\sqrt{2}$， $A,C$两点的球面距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，则球心到平面 $ABC$的距离为．

已知 $(1+x+x^2)(x+\frac{1}{x^3}{)}^n$的展开式中没有常数项， $n\in N^{+}$，且 $2\le n\le 8$，则 $n=$．

已知 $f\left(x\right)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})(\omega >0),f\left(\frac{\pi }{6}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)$，且 $f\left(x\right)$在区间 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3})$有最小值，无最大值，则 $\omega$＝．

在 $∆ABC$中，内角 $A,B,C$对边的边长分别是 $a,b,c$，已知 $c=2,C=\frac{\pi }{3}$．
（Ⅰ）若 $∆ABC$的面积等于 $\sqrt{3}$，求 $a,b$；
（Ⅱ）若 $\sin C+\sin \left(B-A\right)=2\sin 2A$，求 $∆ABC$的面积．

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元， $\xi$ 表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元).若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

如图，在棱长为1的正方体 $ABCD-A^{`}{B}^{`}{C}^{`}{D}^{`}$ 中， $AP=BQ=b\left(0<b<1\right)$ ，截面 $PQEF\parallel A^{`}D$ ，截面 $PQGH\parallel A{D}^{`}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面 $PQEF$ 和截面 $PQGH$ 面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若 $D^{`}E$ 与平面 $PQEF$ 所成的角为 ${45}^{°}$ ，求 $D^{`}E$ 与平
面 $PQEF$ 所成角的正弦值．

在直角坐标系 $xOy$中，点 $P$到两点 $\left(0,-\sqrt{3}\right),\left(0,\sqrt{3}\right)$的距离之和等于4，设点 $P$的轨迹为 $C$，直线 $y=kx+1$与 $C$交于 $A,B$两点．
（Ⅰ）写出 $C$的方程；
（Ⅱ）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{OB}$，求 $k$的值；
（Ⅲ）若点 $A$在第一象限，证明：当 $k>0$时，恒有 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\right|>\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OB}\right|$．

在数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$中， $a_1=2,b_1=4$，且 $a_n,b_n,a_{n+1}$成等差数列， $b_n,a_{n+1},b_{n+1}$成等比数列（ $n\in N^{*}$）
（Ⅰ）求 $a_2,a_3,a_4$及 $b_2,b_3,b_4$，由此猜测 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明： $\frac{1}{a_1+b_1}+\frac{1}{a_2+b_2}+...+\frac{1}{a_n+b_n}<\frac{5}{12}$．

设函数 $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$．
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数 $a$，使得关于 $x$的不等式 $f\left(x\right)\ge a$的解集为（0，+ $\infty$）？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，试说明理由．