2010年高考试题分项版理科数学之专题十七 选修系列

（1）几何证明选讲
$AB$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $AB$ 延长线于 $C$ ，若 $DA=DC$ ，求证 $AB=2BC$ .

（2）矩阵与变换
在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $A(0,0),B(-3,0),C(-2,-1)$ ,设 $k\ne 0,k\in R$ ， $M=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right],N=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ,点 $A,B,C$ 在矩阵 $MN$ 对应的变换下得到点 $A_1,B_1,C_1,△A_1{B}_1{C}_1$ 的面积是 $△ABC$ 面积的2倍，求实数 $k$ 的值
（3）参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆 $\rho =2\cos \theta$ 与直线 $3\rho cs\theta +4\rho \sin \theta +a=0$ 相切，求实数 $a$ 的值.
（4）不等式证明选讲
已知实数 $a,b\ge 0$ ，求证： $a^3+b^3\ge \sqrt{ab}(a^2+b^2)$ .

设曲线 $C$的参数方程为 $\{\begin{array}{c}x=2+3\cos \theta \\ y=-1+3\sin \theta \end{array}$（ $\theta$为参数），直线 $l$的方程为 $x-3y+2=0$，则曲线 $C$上到直线 $l$距离为 $\frac{7\sqrt{10}}{10}$的点的个数为

A．不等式 $\left|x+3\right|-\left|x-2\right|\ge 3$ 的解集为 .

B. 如图，已知 $Rt△ABC$ 的两条直角边 $AC,BC$ 的长分别为3cm,4cm，以 $AC$ 为直径的圆与 $AB$ 交于点 $D$ ，则 $\frac{BD}{DA}=$   .

C. 已知圆C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}\right.$ （ $\alpha$ 为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\rho \sin \theta =1$ ，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为 .

极坐标方程 $\rho =\cos \theta$和参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-t\\ y=2+3t\end{array}\right.$( $t$为参数)所表示的图形分别是（）

如图所示，过 $\odot O$ 外一点 $P$ 作一条直线与 $\odot O$ 交于 $A,B$ 两点.已知 $PA=2$ ，点 $P$ 到 $\odot O$ 的切线上 $PT=4$ ，则弦的长为 .

如图， $AB,CD$ 是半径为 $a$ 的圆 $O$ 的两条弦，它们相交于 $AB$ 的中点 $P$ ， $PD=\frac{2a}{3}$ ， $\angle OAP={30}^{°}$ ，则 $CP=$    .

在极坐标系 $(\rho ,\theta )(0\le \theta <2\pi )$中，曲线 $\rho =2\sin \theta$与 $\rho \cos \theta =-1$的交点的极坐标为．

（1）已知矩阵M= $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 1\end{array}\right)$，N= $\left(\begin{array}{cc}c& 2\\ 0& d\end{array}\right)$，且MN= $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$。
（Ⅰ）求实数 $a,b,c,d$的值；

（Ⅱ）求直线 $y=3x$在矩阵 $M$所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）在直角坐标系 $xOy$中，直线 $L$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（ $t$为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$取相同的长度单位，且以原点 $O$为极点，以 $x$轴正半轴为极轴）中，圆 $C$的方程为 $\rho =2\sqrt{5}\sin \theta$。
（Ⅰ）求圆 $C$的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 $C$与直线 $L$交于点 $A,B$。若点 $P$的坐标为（ $3,\sqrt{5}$），求 $\left|PA\right|+\left|PB\right|$。
（3）已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a\right|$.
（Ⅰ）若不等式 $f\left(x\right)\le 3$的解集为 $\left\{\overline{)x}-1\le x\le 5\right\}$，求实数 $a$的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 $f\left(x\right)+f\left(x+5\right)\ge m$对一切实数 $x$恒成立，求实数 $m$的取值范围。

极坐标方程 $\left(p-1\right)\left(\theta -\mathrm{\pi }\right)=\left(p\ge 0\right)$表示的图形是（）

如图， $\odot O$ 的弦 $ED$ ， $CB$ 的延长线交于点 $A$ 。若 $BD\perp AE,AB=4,BC=2,AD=3$ ,则 $DE$ ＝ ； $CE$ ＝ .

如图，已经圆上的弧 $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$，过 $C$点的圆切线与 $BA$的延长线交于 $E$点，证明：
（Ⅰ） $\angle ACE=\angle BCD$；
（Ⅱ） $B{C}^2=BF\times CD$.

已知直线 $C_1:\{\begin{array}{c}x=1+t\cos a\\ y=t\sin a\end{array}$（ $t$为参数）， $C_2:\{\begin{array}{c}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$（ $\theta$为参数），
（Ⅰ）当 $a=\frac{\pi }{3}$时，求 $C_{1_{}}$与 $C_2$的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 $O$做 $C_{1_{}}$的垂线，垂足为 $P$， $P$为 $OA$中点，当 $a$变化时，求 $P$点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x-4\right|+1$

（Ⅰ）画出函数 $y=f\left(x\right)$的图像
（Ⅱ）若不等式 $f\left(x\right)\le ax$的解集非空，求 $a$的取值范围.

已知圆 $C$的圆心是直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\end{array}\right.$( $t$为参数）与 $x$轴的交点，且圆 $C$与直线 $x+y+3=0$相切，则圆 $C$的方程为         .

如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$ ，若 $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{2},\frac{PC}{PD}=\frac{1}{3}$ ,则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为   .

如图， $△ABC$ 的角平分线 $AD$ 的延长线交它的外接圆于点 $E$ .
（I）证明： $△ABE~△ADC$ ;

（II）若 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}AD·AE$ ，求 $\angle BAC$ 的大小.

已知 $P$为半圆 $C$: $\{\begin{array}{c}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$( $\theta$为参数， $0\le \theta \le \pi$）上的点，点 $A$的坐标为（1,0）， $O$为坐标原点，点 $M$在射线 $OP$上，线段 $OM$与 $C$的弧 $\stackrel{⏜}{AP}$的长度均为 $\frac{\pi }{3}$。
（I）以 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$的极坐标；
（II）求直线 $AM$的参数方程。

不等式选讲已知 $a,b,c$均为正数，证明： $a^2+b^2+c^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}{)}^2\ge 6\sqrt{3}$，并确定 $a,b,c$为何值时，等号成立。

直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{2}$与圆心为D的圆 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos\theta \\ y=1+\sqrt{3}sin\theta \end{array}\right.(\theta \in [0,2\mathrm{\pi }\left)\right)$交与 $A,B$两点，则直线 $AD$与 $BD$的倾斜角之和为(   ).