.(14分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F₁(－c,0)，F₂(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足＝2a.点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足，
(1)设x为点P的横坐标，证明＝a＋x；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S＝b²？若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．