如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
 
(1)求证：BC₁∥平面A₁CD；
(2)若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABCA₁B₁C₁是正三棱柱．