如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.