(1）已知函数fxlnxx1,x∈0,ͩ

科目：数学
题型：解答题
难度：困难
人气：1615

题文

(1）已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
(2）设 $a_{1}, b_{1} (k = 1, 2, \dots, n)$ 均为正数，证明：

①若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} ⩽ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则 ${a_{1}}^{b_{1}} {a_{2}}^{b_{2}} \dots {a_{n}}^{b_{n}} ⩽ 1$ ；

②若 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ ，则 $\frac{1}{n} ⩽ {b_{1}}^{b_{1}} {b_{2}}^{b_{2}} \dots {b_{n}}^{b_{n}} ⩽ {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + \dots + {b_{n}}^{2}$

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