已知A、B为抛物线C：y² = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l₁、l₂分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l₁、l₂的交点.
（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
（2）设C、D为直线l₁、l₂与直线x = 4的交点，求面积的最小值.