已知函数$f\left(x\right)=\cos x\left(\sin x+\cos x\right)-\frac{1}{2}$.
（1）若$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，且$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$f\left(\alpha \right)$的值；
（2）求函数$f\left(x\right)$的最小正周期及单调递增区间.