设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1,a_2+1,a_3$成等差数列.
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和 $T_n$，求得 $\left|T_n-1\right|<\frac{1}{1000}$成立的 $n$的最小值.