在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C₁：y＝x²＋bx＋c经过点A，B.

(1)求点A，B的坐标；
(2)求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
(3)若拋物线C₂：y＝ax²(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.