在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{1}{a}$与$y$轴交于点$A$，将点$A$向右平移2个单位长度，得到点$B$，点$B$在抛物线上．

（1）求点$B$的坐标（用含$a$的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点$P(\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{a})$，$Q(2,2)$．若抛物线与线段$\mathit{PQ}$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围．