如图1，在平面直角坐标系中，点$O$为坐标原点，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与$y$轴交于点$A(0,6)$，与$x$轴交于点$B(-2,0)$，$C(6,0)$．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$，设点$P(m,n)$是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点$P$作$\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点$E$，交$x$轴于点$D$，过点$P$作$\mathit{PG}//\mathit{AB}$交$\mathit{AC}$于点$F$，交$x$轴于点$G$．设线段$\mathit{DG}$的长为$d$，求$d$与$m$的函数关系式，并注明$m$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若$\mathit{\Delta PDG}$的面积为$\frac{49}{12}$，

①求点$P$的坐标；

②设$M$为直线$\mathit{AP}$上一动点，连接$\mathit{OM}$，直线$\mathit{OM}$交直线$\mathit{AC}$于点$S$，则点$M$在运动过程中，在抛物线上是否存在点$R$，使得$\mathit{\Delta ARS}$为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点$M$及其对应的点$R$的坐标；若不存在，请说明理由．