如图，在▱ OABC中， A、 C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线 W经过 O、 A、 C三点，点 D是抛物线 W的顶点．

（1）求抛物线 W的函数解析式及顶点 D的坐标；

（2）将抛物线 W和▱ OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移 m（0＜ m＜3）个单位长度，得到抛物线 W ₁和□ O ₁ A ₁ B ₁ C ₁，在向下平移过程中， O ₁ C ₁与 x轴交于点 H，▱ O ₁ A ₁ B ₁ C ₁与▱ OABC重叠部分的面积记为 S，试探究：当 m为何值时， S有最大值，并求出 S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 S取最大值时，设此时抛物线 W ₁的顶点为 F，若点 M是 x轴上的动点，点 N是抛物线 W ₁上的动点，是否存在这样的点 M、 N，使以 D、 F、 M、 N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．