如图1，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2\sqrt{3}$， $0)$、 $B(0,-2)$两点，点 $C$在 $y$轴上， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，点 $D$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，以 $\mathit{DE}$为边作矩形 $\mathit{DEGF}$，使点 $F$在 $x$轴上，点 $G$在 $\mathit{AC}$或 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形 $\mathit{DEGF}$沿 $\mathit{GF}$所在直线翻折，得矩形 $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}\mathit{GF}$，当点 $D$的对称点 $D^{\text{'}}$落在抛物线上时，求此时点 $D^{\text{'}}$的坐标；

（3）如图2，在 $x$轴上有一点 $M(2\sqrt{3}$， $0)$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{CM}$，在点 $D$的运动过程中，设矩形 $\mathit{DEGF}$与四边形 $\mathit{ABMC}$重叠部分的面积为 $S$，直接写出 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围．