如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象交 $x$轴于点 $A(-4,0)$和点 $B$，交 $y$轴于点 $C(0,4)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内的抛物线上，求四边形 $\mathit{AOCP}$面积的最大值和此时点 $P$的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点 $Q$，使 $A$， $B$， $C$， $Q$四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．