已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=1+\lambda a_n$，其中 $\lambda \ne 0$．

（1）证明 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_5=\frac{31}{32}$，求 $\lambda$．