若无穷数列{an}满足：只要apaq(p,q∈N)，必有ap

科目：数学
题型：解答题
难度：较难
人气：74

题文

若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 21$ ，求 $a_{3}$ ；

（2）若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = c_{5} = 1$ ； $b_{5} = c_{1} = 81$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（3）设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + \sin a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：“对任意 $a_{1}$ ， ${a_{n}}$ 都具有性质 $P$ ”的充要条件为“ ${b_{n}}$ 是常数列”．

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