设函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x+\mathit{cos}x(x\in R)$.

（1）求函数 $y={\left[f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}^2$的最小正周期；

（2）求函数 $y=f\left(x\right)f\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最大值.