正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为 $4$， $E、F$分别为 $A_1{D}_1,C_1{B}_1$中点， $\mathit{CG}=3G{C}_1$．

（1）求证： $\mathit{GF}\perp$平面 $\mathit{FBE}$；

（2）求平面 $\mathit{FBE}$与平面 $\mathit{EBG}$夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D-\mathit{FBE}$的体积．