初中数学正方形的判定试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DC}$；

（2）若 $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$，试判断四边形 $\mathit{ADCF}$的形状，并证明你的结论．

下列判断错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

如图在△ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°$，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且 $\mathit{BE}＝\mathit{BF}$，请你添加一个条件　　，使四边形BECF是正方形．

在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是　　．

如图，在△ ABC中，∠ BAC＝45°， AD⊥ BC于点 D， BD＝6， DC＝4，求 AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：

（1）分别以 AB， AC所在直线为对称轴，画出△ ABD和△ ACD的对称图形，点 D的对称点分别为点 E， F，延长 EB和 FC相交于点 G，求证：四边形 AEGF是正方形；

（2）设 AD＝ x，建立关于 x的方程模型，求出 AD的长．

下列命题正确的是（　　）

A．	对角线互相垂直的四边形是菱形
B．	对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．	对角线相等的菱形是正方形
D．	对角线相等的四边形是矩形

▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　　，使得▱ABCD为正方形．

下列命题中错误的是（　　）

A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

B．矩形的对角线相等

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$
B．	当 $\mathit{AB}=\mathit{CD}$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形
C．	当 $\angle \mathit{ABC}=90°$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形
D．	当 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ 且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ 时，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $\mathit{CD}$ 上的点 $A^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{DE}$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 上的点 $C\text{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{EF}$ ， $B^{\text{'}}C\text{'}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $C\text{'}F$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $\mathit{AE}{A}^{\text{'}}D$ 的形状是 　 　；

（2）如图2，线段 $\mathit{MC}\text{'}$ 与 $\mathit{ME}$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $\mathit{AC}\text{'}=2\mathit{cm}$ ， $D{C}^{\text{'}}=4\mathit{cm}$ ，求 $\mathit{DN}:\mathit{EN}$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$过点 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OC}=3$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$，求证：四边形 $\mathit{ADBM}$为正方形；

（3）点 $P$为抛物线在直线 $\mathit{BC}$下方图形上的一动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$面积最大时，求点 $P$的坐标；

（4）若点 $Q$为线段 $\mathit{OC}$上的一动点，问： $\mathit{AQ}+\frac{1}{2}\mathit{QC}$是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $M$ 、 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 上两点， $\mathit{BM}=\mathit{DN}$ ，连接 $\mathit{AM}$ 、 $\mathit{MC}$ 、 $\mathit{CN}$ 、 $\mathit{NA}$ ，添加一个条件，使四边形 $\mathit{AMCN}$ 是矩形，这个条件是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OM}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$

B．

$\mathit{MB}=\mathit{MO}$

C．

$\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$

D．

$\angle \mathit{AMB}=\angle \mathit{CND}$

下列命题是真命题的是 $($ 　　 $)$

A．	对角线相等的四边形是矩形
B．	对角线互相垂直的四边形是矩形
C．	对角线互相垂直的矩形是正方形
D．	四边相等的平行四边形是正方形

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，正方形 $\mathit{PQMN}$的边 $\mathit{QM}$在 $\mathit{BC}$上，顶点 $P$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AD}=h$，求正方形 $\mathit{PQMN}$的边长（用 $a$， $h$表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形 $\mathit{PQMN}$呢？

如图2，小波画出了图1的 $\mathit{\Delta ABC}$，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在 $\mathit{AB}$上任取一点 $P^{\text{'}}$，画正方形 $P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}{N}^{\text{'}}$，使点 $Q^{\text{'}}$， $M^{\text{'}}$在 $\mathit{BC}$边上，点 $N^{\text{'}}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，然后连结 $B{N}^{\text{'}}$，并延长交 $\mathit{AC}$于点 $N$，画 $\mathit{NM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$， $\mathit{NP}\perp \mathit{NM}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$， $\mathit{PQ}\perp \mathit{BC}$于点 $Q$，得到四边形 $\mathit{PQMN}$．

（3）推理：证明图2中的四边形 $\mathit{PQMN}$是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段 $\mathit{BN}$称为“波利亚线”，在该线上截取 $\mathit{NE}=\mathit{NM}$，连结 $\mathit{EQ}$， $\mathit{EM}$（如图 $3)$，当 $\angle \mathit{QEM}=90°$时，求“波利亚线” $\mathit{BN}$的长（用 $a$， $h$表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ACB}=45°$，点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BE}=\mathit{BA}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{AD}$于点 $G$．点 $H$在 $\mathit{BC}$的延长线上，且 $\mathit{CH}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{EH}$．

（1）若 $\mathit{BC}=12\sqrt{2}$， $\mathit{AB}=13$，求 $\mathit{AF}$的长；

（2）求证： $\mathit{EB}=\mathit{EH}$．