初中数学直线与圆的位置关系试题

阅读材料：

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， 点 $P(x_0$， $y_0)$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离公式为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$．

例如： 求点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离 ．

解： 由直线 $4x+3y-3=0$知， $A=4$， $B=3$， $C=-3$，

$\therefore$点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离为 $d=\frac{|4\times 0+3\times 0-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}$．

根据以上材料， 解决下列问题：

问题 1 ：点 $P_1(3,4)$到直线 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$的距离为　　；

问题 2 ：已知： $\odot C$是以点 $C(2,1)$为圆心， 1 为半径的圆， $\odot C$与直线 $y=-\frac{3}{4}x+b$相切， 求实数 $b$的值；

问题 3 ：如图， 设点 $P$为问题 2 中 $\odot C$上的任意一点， 点 $A$， $B$为直线 $3x+4y+5=0$上的两点， 且 $\mathit{AB}=2$，请求出 $S_{\mathit{\Delta ABP}}$的最大值和最小值 ．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AD}$为 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，以 $\mathit{AB}$上一点 $O$为圆心的半圆经过 $A$、 $D$两点，交 $\mathit{AB}$于 $E$，连接 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）判断 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{OF}:\mathit{FC}=2:3$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{CB}$延长线于点 $E$，垂足为点 $F$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径 $R=5$， $\tan C=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图， $\odot O$的半径为2，圆心 $O$到直线 $l$的距离为4，有一内角为 $60°$的菱形，当菱形的一边在直线 $l$上，另有两边所在的直线恰好与 $\odot O$相切，此时菱形的边长为　              　．

已知点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $y=\mathit{kx}+b$，则点 $P$到直线 $y=\mathit{kx}+b$的距离证明可用公式 $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$计算．

例如：求点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离．

解：因为直线 $y=3x+7$，其中 $k=3$， $b=7$．

所以点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离为： $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|3\times (-1)-2+7|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $P(1,-1)$到直线 $y=x-1$的距离；

（2）已知 $\odot Q$的圆心 $Q$坐标为 $(0,5)$，半径 $r$为2，判断 $\odot Q$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系并说明理由；

（3）已知直线 $y=-2x+4$与 $y=-2x-6$平行，求这两条直线之间的距离．

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

如图， $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle O=90°$， $\mathit{AO}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BO}=6\mathit{cm}$，点 $C$从 $A$点出发，在边 $\mathit{AO}$上以 $2\mathit{cm}/s$的速度向 $O$点运动，与此同时，点 $D$从点 $B$出发，在边 $\mathit{BO}$上以 $1.5\mathit{cm}/s$的速度向 $O$点运动，过 $\mathit{OC}$的中点 $E$作 $\mathit{CD}$的垂线 $\mathit{EF}$，则当点 $C$运动了　　 $s$时，以 $C$点为圆心， $1.5\mathit{cm}$为半径的圆与直线 $\mathit{EF}$相切．

如图，直线 $\mathit{AD}$经过 $\odot O$上的点 $A$， $\mathit{\Delta ABC}$为 $\odot O$的内接三角形，并且 $\angle \mathit{CAD}=\angle B$．

（1）判断直线 $\mathit{AD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{CAD}=30°$， $\odot O$的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$， $D$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{OD}$，作 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，在 $\mathit{AC}$边上取一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DO}$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）判断直线 $\mathit{DF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\angle A=30°$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$时，求 $\odot O$的半径．

已知 $\odot O$的半径为 $5\mathit{cm}$，圆心 $O$到直线 $l$的距离为 $5\mathit{cm}$，则直线 $l$与 $\odot O$的位置关系为 $($　　 $)$

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图，已知 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的两条割线， $\mathit{AC}$与 $\odot O$交于 $B$、 $C$两点， $\mathit{AD}$过圆心 $O$且与 $\odot O$交于 $E$、 $D$两点， $\mathit{OB}$平分 $\angle \mathit{AOC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta ABO}$；

（2）过点 $E$的切线交 $\mathit{AC}$于 $F$，若 $\mathit{EF}//\mathit{OC}$， $\mathit{OC}=3$，求 $\mathit{EF}$的值． $[$提示： $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1]$

以坐标原点 $O$为圆心，作半径为2的圆，若直线 $y=-x+b$与 $\odot O$相交，则 $b$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $0⩽b<2\sqrt{2}$B． $-2\sqrt{2}⩽b⩽2\sqrt{2}$C． $-2\sqrt{3}<b<2\sqrt{3}$D． $-2\sqrt{2}<b<2\sqrt{2}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）作 $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$边于点 $O$，再以点 $O$为圆心， $\mathit{OB}$的长为半径作 $\odot O$；（要求：不写做法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，直接写出结果．