高中数学试题

如图，以长方体ABCD﹣A ₁B ₁C ₁D ₁的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\stackrel{\to }{D{B}_1}$ 的坐标为（4，3，2），则 $\stackrel{\to }{A{C}_1}$ 的坐标是________．

设双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(b>0\right)$ 的焦点为F ₁、F ₂ ， P为该双曲线上的一点，若 $\left|P{F}_1\right|=5$ ，则 $\left|P{F}_2\right|=$ ________．    

已知复数z满足 $z+\frac{3}{z}=0$ ，则 $\left|z\right|$ =________．    

已知球的体积为 $36\mathrm{\pi }$ ，则该球主视图的面积等于________．    

不等式 $\frac{x-1}{x}>1$  的解集为________．    

若排列数 $P_6^m$ =6×5×4，则m=________．   

已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则 $A\cap B=$ ________．    

记 $f^{\text{'}}\left(x\right),g^{\text{'}}\left(x\right)$ 分别为函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的导函数.若存在 $x_0\in R$ ，满足 $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$ 且 $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=g^{\text{'}}\left(x_0\right)$ ，则称 $x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $f\left(x\right)=x$ 与 $g\left(x\right)=x^2+2x-2$ 不存在“S点”.

（2）若函数 $f\left(x\right)=a{x}^2-1$ 与 $g\left(x\right)=\ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.   

（3）已知函数 $f\left(x\right)=-x^2+a$ ， $g\left(x\right)=\frac{b{e}^x}{x}$ ，对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内存在“S”点，并说明理由.   

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3},\frac{1}{2})$ ，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ ，圆O的直径为 $F_1{F}_2$ .

（1）求椭圆C及圆O的方程；   

（2）设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $\mathit{\Delta OAB}$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $\mathit{MPN}$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $\mathit{MN}$ 构成,已知圆 $O$ 的半径为40米,点 $P$ 到 $\mathit{MN}$ 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $\mathit{ABCD}$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $\mathit{\Delta CDP}$要求 $\mathit{AB}$ 均在线段 $\mathit{MN}$ 上, $C,D$ 均在圆弧上,设 $\mathit{OC}$ 与 $\mathit{MN}$ 所成的角为 $\theta$

（1）用 $\theta$分别表示矩形 $ABCD$ 和 $\Delta CDP$的面积,并确定 $\sin \theta$ 的取值范围

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$.求当 $\theta$为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

已知 $\alpha ,\beta$ 为锐角， $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ ， $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ 。   

（1）求 $\cos 2\alpha$ 的值。   

（2）求 $\tan (\alpha -\beta )$ 的值。  

在平行四边形 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=\mathit{AB},A{B}_1\perp B_1{C}_1$

求证：

（1） $\mathit{AB}//$ 平面 $A_1{B}_{1}C$

（2）平面 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1\perp$平面 $A_1\mathit{BC}$

已知集合 $A=\left\{x\right|x=2n-1,n\in N^{*}\},B=\{x|x=2^n,n\in N^{*}\}$ ,将 $A\cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_n\right\}$ ,记 $S_n$ 为数列的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为________.    

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$ ， $\angle \mathit{ABC}={120}^{\circ }$ , $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，且 $\mathit{BD}=1$ ,则 $4a+c$ 的最小值为________    

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $A$ 为直线 $l:y=2x$ 上在第一象限内的点， $B(5,0)$ 以 $\mathit{AB}$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $l$ 交于另一点 $D$ ，若 $\stackrel{\to }{AB}·\stackrel{\to }{CD}=0$ ,则点 $A$ 的横坐标为________