高中数学试题

如图,在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, $F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点，直线 $y=\frac{b}{2}$与椭圆交于 $B,C$ 两点，且 $\angle \mathit{BFC}={90}^{\circ }$， 则该椭圆的离心率是 ________.

定义在区间 $[0,3\pi ]$ 上的函数 $y=\sin 2x$ 的图象与 $y=\cos x$ 的图象的交点个数是           .

已知 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $\left\{S_n\right\}$是其前 $n$项和.若 $a_1+a_2^2=-3，S_5=10$，则 $a_9$的值是       .

将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是       .

如图是一个算法的流程图，则输出的 $a$的值是________.

函数 $y=\sqrt{3-2x-x^2}$的定义域是         .

已知一组数据 $4.7\mathrm{，}4.8\mathrm{，}5.1\mathrm{，}5.4\mathrm{，}5.5$，则该组数据的方差是________.

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，双曲线 $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$的焦距是________.

复数 $z=(1+2i)(3-i)$其中 $i$为虚数单位，则 $z$的实部是____________.

已知集合 $A=\left\{-1,2,3,6\right\}，B=\left\{x\right|-2<x<3\}$则 $A\bigcap B=$      .

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2+t,\\ y=\mathit{kt},\end{array}\right.$（t为参数），直线l₂的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-2+m,\\ y=\frac{m}{k},\end{array}\right.（m\mathit{为参数）}$.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_3:\rho \left(\mathit{cos}\theta +\mathit{sin}\theta \right)-\sqrt{2}=0$，M为l₃与C的交点，求M的极径.

已知函数 $f\left(x\right)=x-1-a\mathit{ln}x$．

（1）若 $f\left(x\right)\ge 0$，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n， $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})<m$，求m的最小值．

已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点 $P\left(4,-2\right)$，求直线l与圆M的方程.

如图，四面体 ABCD中， $△ABC$是正三角形， $△ACD$是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD，AB=BD$．

（1）证明： $\mathrm{平面}ACD\perp \mathrm{平面}ABC$；

（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$的余弦值.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．