高中数学试题

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 的对边分别为 $a,b,c,$ 已知 $\mathit{sin}A+\sqrt{3}\mathit{cos}A=0,a=2\sqrt{7},b=2$ .

（1）求角 $A$ 和边长 $c$ ；

（2）设 $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 ,求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积.

a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+1，x\le 0，\\ 2^x，x>0，\end{array}\right.$则满足 $f\left(x\right)+f(x-\frac{1}{2})>1$的x的取值范围是____________.

设等比数列 $\left\{a_n\right\}$满足a₁ + a₂ = –1, a₁ – a₃ = –3，则a₄ = ___________．

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\stackrel{⃑}{\text{AP}}$ = $\lambda$ $\stackrel{⃑}{\text{AB}}$ + $\stackrel{⃑}{\text{AD}}$ ，则 $\lambda$ + $\mu$ 的最大值为（   ）

A．

3

B．

2 $\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{5}$

D．

2

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ （   ）

A．

$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

1

已知椭圆 C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 A ₁， A ₂，且以线段 A ₁ A ₂为直径的圆与直线 $\mathit{bx}-\mathit{ay}+2\mathit{ab}=0$ 相切，则 C的离心率为（   ）

A．	$\frac{\sqrt{6}}{3}$	B．	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C．	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	D．	$\frac{1}{3}$

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $1$ ，公差不为 $0$ ．若 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $a_6$ 成等比数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $6$ 项的和为（    ）

A．

$-24$

B．

$-3$

C．

$3$

D．

$8$

已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（   ）

A．	$\pi$	B．	$\frac{\text{3}\text{π}}{4}$
C．	$\frac{\pi }{2}$	D．	$\frac{\pi }{4}$

已知抛物线C： $y^2$=2px经过点 $P$（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点， $\stackrel{⃑}{\mathit{QM}}=\lambda \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$， $\stackrel{⃑}{\mathit{QN}}=\mu \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$，求证： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$为定值．

设函数 $f\left(x\right)$=[ $a{x}^2-\left(4a+1\right)x+4a+3$] $e^x$．

（1）若曲线在点（1， $f\left(1\right)$）处的切线与 $x$轴平行，求 $a$；

（2）若 $f\left(x\right)$在 $x=2$处取得极小值，求 $a$的取值范围．

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" ${\xi }_k=1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" ${\xi }_k=0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D{\xi }_1$ ， $D{\xi }_2$ ， $D{\xi }_3$ ， $D{\xi }_4$ ， $D{\xi }_5$ ， $D{\xi }_6$ 的大小关系．

如图，在三棱柱 ABC− $A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A{A}_1$ ， AC， $A_1{C}_1$ ， 的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A{A}_1$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

已知椭圆 $M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，双曲线 $N：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．