高中数学试题

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC．△ ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为 p ₁， p ₂， p ₃，则(　　)

A．	p 1=p 2	B．	p 1=p 3
C．	p 2=p 3	D．	p 1=p 2+p 3

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^x，x\le 0，\\ \mathit{ln}x，x>0，\end{array}\right.g\left(x\right)=f\left(x\right)+x+a$ ．若 g（ x）存在2个零点，则 a的取值范围是(　　)

A．

[-1，0）

B．

[0，+∞）

C．

[-1，+∞）

D．

[1，+∞）

设抛物线 C： y ²=4 x的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 C交于 M， N两点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{FM}}\cdot \stackrel{⃑}{\mathit{FN}}$ =(　　)

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2\mathit{cos\theta }\\ y=4\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$（ $\theta$为参数），直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\mathit{tcos\alpha }\\ y=2+\mathit{tsin\alpha }\end{array}\right.$（ $t$为参数）.

（1）求 $C$和 $l$的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$截直线 $l$所得线段的中点坐标为 $\left(1,2\right)$，求 $l$的斜率．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a{x}^2$．

（1）若 $a=1$，证明：当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\ge 1$；

（2）若 $f\left(x\right)$在只有一个零点，求 $a$的值.

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且二面角 $M-\mathit{PA}-C$ 为 $30°$ ，求 $\mathit{PC}$ 与平面 $\mathit{PAM}$ 所成角的正弦值．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

   为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2},即\alpha =\frac{\pi }{6}$ ）建立模型①： $\stackrel{̂}{y}=-30.4+13.5t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x-2+2x-2>2\end{array}\right.$ ）建立模型②： $\stackrel{̂}{y}=99+17.5t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 ， ．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $S_n$ ，并求 $S_n$ 的最小值．

已知圆锥的顶点为 $S$，母线 $\mathit{SA}$， $\mathit{SB}$所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$， $\mathit{SA}$与圆锥底面所成角为45°，若 $△\mathit{SAB}$的面积为 $5\sqrt{15}$，则该圆锥的侧面积为__________．

已知 $\mathit{sin}\alpha +\mathit{cos}\beta =1$， $\mathit{cos}\alpha +\mathit{sin}\beta =0$，则__________．

若 $x,\mathit{\hspace{0.33em}y}$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y-5\ge 0,\\ x-2y+3\ge 0,\\ x-5\le 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$的最大值为__________．

已知 $F_1$ ， $F_2$ 是椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{0.33em}(a>b>0)$ 的左，右焦点， $A$ 是 $C$ 的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上， $△P{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形， $\angle F_1{F}_{2}P=120°$ ，则 $C$ 的离心率为（    ）

A．

$\frac{2}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{4}$

已知 $f\left(x\right)$ 是定义域为 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数,满足 $f(1-x)=f(1+x)$ .若 $f\left(1\right)=2$ ，则 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots +f\left(50\right)=$ （    ）

A．

$-50$

B．

$0$

C．

$2$

D．

$50$

若 $f\left(x\right)=\text{cos}x-\text{sin}x$ 在 $\left[-a,\mathit{\hspace{0.33em}a}\right]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（    ）

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\frac{3\pi }{4}$

D．

$\pi$