高中数学试题

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 $b\mathit{sin}A=a\mathit{cos}\left(B-\frac{\pi }{6}\right)$ .

（1）求角 B的大小；

（2）设 a=2， c=3，求 b和 $\mathit{sin}\left(2A-B\right)$ 的值.

已知 $a>0$，函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2\mathit{ax}+a,x\le 0,\\ -x^2+2\mathit{ax}-2a,x>0.\end{array}\right.$若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)=\mathit{ax}$恰有2个互异的实数解，则 $a$的取值范围是______________.

已知 $a,b\in R$，且 $a-3b+6=0$，则 $2^a+\frac{1}{8^b}$的最小值为_____________.

已知圆 $x^2+y^2-2x=0$的圆心为 $C$，直线 $\left\{\begin{array}{c}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t,\\ y=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（ $t$为参数）与该圆相交于 $A$、 $B$两点，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为___________.

如图，在平面四边形 ABCD中， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC},\mathit{AD}\perp \mathit{CD},\angle \mathit{BAD}=120^{\circ },\mathit{AB}=\mathit{AD}=1,$

若点 E为边 CD上的动点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{AE}}\cdot \stackrel{⃑}{\mathit{BE}}$ 的最小值为 （ ）

A．

$\frac{21}{16}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{25}{16}$

D．

$3$

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点.设 $A,B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$ ，且 $d_1+d_2=6,$ 则双曲线的方程为（ ）

A．	$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$	B．	$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$
C．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$	D．	$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

将函数 $y=\mathit{sin}(2x+\frac{\pi }{5})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）

A．	在区间 $[\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$ 上单调递增	B．	在区间 $[\frac{3\pi }{4},\pi ]$ 上单调递减
C．	在区间 $[\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}]$ 上单调递增	D．	在区间 $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ 上单调递减

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的方程为 $y=k\left|x\right|+2$.以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \mathit{cos}\theta -3=0$.

（1）求 $C_2$的直角坐标方程；

（2）若 $C_1$与 $C_2$有且仅有三个公共点，求 $C_1$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-x+a\mathit{ln}x$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明： $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}<a-2$．

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$件产品中恰有 $2$件不合格品的概率为 $f\left(p\right)$,求 $f\left(p\right)$的最大值点 $p_0$；

（2）现对一箱产品检验了 $20$件，结果恰有 $2$件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$作为 $p$的值．已知每件产品的检验费用为 $2$元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $\mathit{EX}$;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

设椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为 $F$，过 $F$的直线 $l$与 $C$交于 $A,B$两点，点 $M$的坐标为 $(2,0)$.

（1）当 $l$与 $x$轴垂直时，求直线 $\mathit{AM}$的方程；

（2）设 $O$为坐标原点，证明： $\angle \mathit{OMA}=\angle \mathit{OMB}$.

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为正方形， $E,F$ 分别为 $\mathit{AD},\mathit{BC}$ 的中点，以 $\mathit{DF}$ 为折痕把 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $\mathit{PF}\perp \mathit{BF}$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PEF}\perp$ 平面 $\mathit{ABFD}$ ；

（2）求 $\mathit{DP}$ 与平面 $\mathit{ABFD}$ 所成角的正弦值.

在平面四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=90^{\circ }$， $\angle A=45^{\circ }$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BD}=5$.

（1）求 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADB}$；

（2）若 $\mathit{DC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{BC}$.

已知函数 $f\left(x\right)=2\mathit{sin}x+\mathit{sin}2x$，则 $f\left(x\right)$的最小值是_____________．

从 $2$位女生， $4$位男生中选 $3$人参加科技比赛，且至少有 $1$位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）