高中数学试题

已知函数 f（ x）=2sin x－ xcos x－ x， f′（ x）为 f（ x）的导数．

（1）证明： f′（ x）在区间（0， π）存在唯一零点；

（2）若 x∈[0，π]时， f（ x）≥ ax，求 a的取值范围．

如图，直四棱柱 ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面是菱形， AA ₁=4， AB=2，∠ BAD=60°， E， M， N分别是 BC， BB ₁， A ₁ D的中点.

（1）证明： MN∥平面 C ₁ DE；

（2）求点 C到平面 C ₁ DE的距离．

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=－a₅．

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

（2）若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 $\sqrt{3}$，那么P到平面ABC的距离为___________．

函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}(2x+\frac{3\pi }{2})-3\mathit{cos}x$的最小值为___________．

已知椭圆C的焦点为 $F_1(-1,0)，F_2(1,0)$ ，过 F ₂的直线与 C交于 A， B两点.若 $\mathit{│A}{F}_2│=2│F_2\mathit{B│}$ ， $│\mathit{AB}│=│B{F}_1│$ ，则 C的方程为（   ）

A．

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

B．

$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

C．

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

D．

$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 asin A－ bsin B=4 csin C，cos A=－ $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}$ =（   ）

A．

6

B．

5

C．

4

D．

3

双曲线 C: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（   ）

A．

2sin40°

B．

2cos40°

C．

$\frac{1}{\text{sin50}°}$

D．

$\frac{1}{\text{cos50}°}$

如图是求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（   ）

A．

A= $\frac{1}{2+A}$

B．

A= $2+\frac{1}{A}$

C．

A= $\frac{1}{1+2A}$

D．

A= $1+\frac{1}{2A}$

已知非零向量 $\vec{a}，\vec{b}$ 满足 $\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{b}\right|$ ，且 $（\vec{a}–\vec{b}）\perp \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（   ）

A．

$\frac{\pi }{6}$

B．

$\frac{\pi }{3}$

C．

$\frac{\text{2π}}{3}$

D．

$\frac{\text{5}\text{π}}{6}$

某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（   ）

A．

8号学生

B．

200号学生

C．

616号学生

D．

815号学生

函数 f( x)= $\frac{\mathit{sin}x+x}{\mathit{cos}x+x^2}$ 在[-π，π]的图像大致为（   ）

A．		B．
C．		D．

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（   ）

A．

165 cm

B．

175 cm

C．

185 cm

D．

190cm

在极坐标系中，O为极点，点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)({\rho }_0>0)$在曲线 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上，直线l过点 $A(4,0)$且与 $\mathit{OM}$垂直，垂足为P.

（1）当 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$时，求 ${\rho }_0$及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

已知函数 $f\left(x\right)=(x-1)\mathit{ln}x-x-1$ .证明：

（1） $f\left(x\right)$ 存在唯一的极值点；

（2） $f\left(x\right)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.