高中数学试题

已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若 $△\mathit{PO}{F}_2$ 为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得 $P{F}_1\perp P{F}_2$ ，且 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表.

$y$ 的分组	$[-\text{0.20,0})$	$\left[\text{0,0.20}\right)$	$\left[\text{0.20,0.40}\right)$	$\left[\text{0.40,0.60}\right)$	$\left[\text{0.60,0.80}\right)$
企业数	2	24	53	14	7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附： $\sqrt{74}\approx 8.602$ .

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为正数的等比数列， $a_1=2,a_3=2a_2+16$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）设，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和.

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E， AB=3，求四棱锥 $E-B{B}_1{C}_{1}C$ 的体积．

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.

我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

若变量x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}2x+3y-6\ge 0，\\ x+y-3\le 0，\\ y-2\le 0，\end{array}\right.$则z=3x–y的最大值是___________.

设 F为双曲线 C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （ a>0， b>0）的右焦点， O为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x ²+ y ²= a ²交于 P、 Q两点．若| PQ|=| OF|，则 C的离心率为（   ）

A．	$\sqrt{2}$	B．	$\sqrt{3}$
C．	2	D．	$\sqrt{5}$

已知 $\alpha$ ∈（0， $\frac{\pi }{2}$ ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）

A．	$\frac{1}{5}$	B．	$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C．	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	D．	$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

曲线 y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为（   ）

A．	$x-y-\pi -1=0$	B．	$2x-y-2\pi -1=0$
C．	$2x+y-2\pi +1=0$	D．	$x+y-\pi +1=0$

若抛物线 y ²=2 px（ p>0）的焦点是椭圆 $\frac{x^2}{3p}+\frac{y^2}{p}=1$ 的一个焦点，则 p=（   ）

A．	2	B．	3
C．	4	D．	8

若 x ₁= $\frac{\pi }{4}$ ， x ₂= $\frac{3\pi }{4}$ 是函数 f( x)= $\mathit{sin}\omega x$ ( $\omega$ >0)两个相邻的极值点，则 $\omega$ =（   ）

A．	2	B．	$\frac{3}{2}$
C．	1	D．	$\frac{1}{2}$

设 α， β为两个平面，则 α∥ β的充要条件是（   ）

A．	α内有无数条直线与β平行
B．	α内有两条相交直线与β平行
C．	α，β平行于同一条直线
D．	α，β垂直于同一平面

设 f( x)为奇函数，且当 x≥0时， f( x)= $e^x-1$ ，则当 x<0时， f( x)= （   ）

A．	$e^{-x}-1$	B．	$e^{-x}+1$
C．	$-e^{-x}-1$	D．	$-e^{-x}+1$