高中数学试题

如图,已知四棱锥 $P-\mathit{ABCD},△\mathit{PAD}$ 是以 $\mathit{AD}$ 为斜边的等腰直角三角形, $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ , $\mathit{CD}\perp \mathit{AD},\mathit{PC}=\mathit{AD}=2DC=2\mathit{CB},E$ 为 $\mathit{PD}$ 的中点.

（I ) 证明: $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

( II )求直线 $\mathit{CE}$ 与平面 $\mathit{PBC}$ 所成角的正弦值.

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x(x\in \mathbf{R})$.

( I ) 求 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值;

( II )求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期及单调递增区间；

已知 $a\in \mathbf{R}$ , 函数 $f\left(x\right)=\left|x+\frac{4}{x}-a\right|+a$ 在区间 $[1,4]$ 上的最大值是 5 ,则 $a$ 的取值范围是 。

从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少 有 1 名女生,共有 种不同的选法. (用数字作答)

已知向量 $\mathit{a},\mathit{b}$ 满足 $\left|\mathit{a}\right|=1$, $\left|\mathrm{b}\right|=2$,则 $|\mathit{a}+\mathit{b}|+|\mathit{a}-\mathit{b}|$ 的最小值是 ,最大值是 .

已知 $△\mathit{ABC},\mathit{AB}=\mathit{AC}=4,\mathit{BC}=2$. 点 $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点, $\mathit{BD}=2$, 连结 $\mathit{CD}$, 则 $△\mathit{BDC}$ 的面积是 , $\cos \angle \mathit{BDC}=$ 。

已知多项式 $(x+1{)}^3(x+2{)}^2=x^5+a_1{x}^4+a_2{x}^3+a_3{x}^2+a_{4}x+a_5$, 则 $a_4=$ ， ${\mathrm{a}}_5=$ 。

已知 $a,b\in \mathbf{R},(a+b\mathrm{i}{)}^2=3+4\mathrm{i}(\mathrm{i}$ 是虚数单位 $)$, 则 $a^2+b^2=\mathrm{}$ ，

$\mathit{ab}=$ .

我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 $\pi$, 理论上能把 $\pi$ 的值计算到任意精度. 祖冲之继承并发展了“割圆术”,将 $\pi$ 的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的买面积 $S_6$, $S_6=$ .

如图,已知平面四边形 $\mathit{ABCD},\mathit{AB}\perp \mathit{BC},\mathit{AB}=\mathit{BC}=\mathit{AD}=2,\mathit{CD}=3,\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ . 记 $I_1=\overrightarrow{\mathit{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathit{OB}},I_2=\overrightarrow{\mathit{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{OC}},I_3=\overrightarrow{\mathit{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathit{OD}}$ , 则（ )

A．	$I_1<I_2<I_3$
B．	$I_1<I_3<I_2$
C．	$I_3<I_1<I_2$
D．	$I_2<I_1<I_3$

如图,已知正四面体 $D-\mathit{ABC}($ 所有棱长均相等的三棱锥 $),P,Q,R$ 分别为 $\mathit{AB}$ , $\mathit{BC},\mathit{CA}$ 上的点, $\mathit{AP}=\mathit{PB},\frac{\mathit{BQ}}{\mathit{QC}}=\frac{\mathit{CR}}{\mathit{RA}}=2\mathrm{。}$ 分别记二面角 $D-\mathit{PR}-Q\mathrm{，}D-\mathit{PQ}-R$ ， $D-\mathit{QR}-P$ 的平面角为 $\alpha \mathrm{，}\beta \mathrm{，}\gamma$ ， 则（ ）

A．	$\gamma <\alpha <\beta$
B．	$\alpha <\gamma <\beta$
C．	$\alpha <\beta <\gamma$
D．	$\beta <\gamma <\alpha$

已知随机变量 ${\xi }_i$ 满足 $P\left({\xi }_i=1\right)=p_i,P\left({\xi }_i=0\right)=1-p_i,i=1,2.$ 若 $0<p_1<p_2<\frac{1}{2}$ , 则（ ）

A．	$E\left({\xi }_1\right)<E\left({\xi }_2\right)\mathrm{，}D\left({\xi }_1\right)<D\left({\xi }_2\right)$
B．	$E\left({\xi }_1\right)<E\left({\xi }_2\right)\mathrm{，}D\left({\xi }_1\right)>D\left({\xi }_2\right)$
C．	$E\left({\xi }_1\right)>E\left({\xi }_2\right)\mathrm{，}D\left({\xi }_1\right)<D\left({\xi }_2\right)$
D．	$E\left({\xi }_1\right)>E\left({\xi }_2\right)\mathrm{，}D\left({\xi }_1\right)>D\left({\xi }_2\right)$

函数 $y=f\left(x\right)$ 的导函数 ， $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ 的图象如图所示,则函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象可能是（ ）

A．

B．

C．

D．

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ , 前 $n$ 项和为 $S_n$ , 则" $d>0$ "是" $S_4+S_6>2S_5$ "的( )

A．	充分不必要条件
B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件
D．	既不充分也不必要条件

若函数 $f\left(x\right)=x^2+\mathit{ax}+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$ , 最小值是 $m$ , 则 $M-m$ （ ）

A．	与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关
B．	与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关
C．	与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关
D．	与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关