高中数学试题

已知椭圆 $\mathrm{C}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},A(a,0),B(0,b),O(0,0),\mathrm{\Delta }\mathit{OAB}$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $\mathit{PA}$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{M}$ , 直线 $\mathrm{PB}$ 与 $x$ 轴交于点 $\mathrm{N}$ .

求证: $\left|\mathit{AN}\right|\cdot \left|\mathit{BM}\right|$ 为定值.

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^{a-x}+\mathit{bx}$ , 曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $(2,f(2\left)\right)$ 处的切线方程为 $y=（e-1）x+4$ ,

（1）求 $a，b$ 的值；

（2）求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

如图, 在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中, 平面 $\mathit{PAD}\perp$ 平面 $\mathit{ABCD},\mathit{PA}\perp \mathit{PD},\mathit{PA}=\mathit{PD},\mathit{AB}\perp \mathit{AD}$ , $\mathit{AB}=1,\mathrm{}\mathit{AD}=2,\mathit{AC}=\mathit{CD}=\sqrt{5}$ .

(1) 求证: $\mathit{PD}\perp$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

(2) 求直线 $\mathit{PB}$ 与平面 $\mathit{PCD}$ 所成角的正弦值;

(3) 在棱 $\mathit{PA}$ 上是否存在点 $M$ , 使得 $\mathit{BM}//$ 平面 $\mathit{PCD}$ ? 若存在, 求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AP}}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

A、B、C三个班共有 100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生 一周的锻炼时间, 数据如下表（单位：小时);

A 班	$66.5$	7	$7.58$
B 班	6	7	8	9	10	11	12
C 班	3	$4.5$	6	$7.5$	9	$10.5$	12	$13.5$

（1）试估计 C 班的学生人数;

(2) 从 A 班和 $C$ 班抽出的学生中, 各随机选取一人， $\mathrm{A}$ 班选出的人记为甲, $\mathrm{C}$ 班选出的人记 为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的钗炼时间长的概率;

(3) 再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生, 他们该周的锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位：小时), 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ${\mu }_1$ , 表格中数据的平均数记为 ${\mu }_0$ , 试判断 ${\mu }_0$ 和 ${\mu }_1$ 的大小, (结论不要求证明）

在 $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$ 中, $a^2+c^2=b^2+\sqrt{2}\mathit{ac}$ .

(1) 求 $\angle B$ 的大小;

(2) 求 $\sqrt{2}\cos A+\cos C$ 的最大值.

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^3-3x\mathrm{，}x\le a\\ -2x\mathrm{，}x>a\end{array}\right.$ .

(1)若 $a=0$ , 则 $f\left(x\right)$ 的最大值为_     。

(2)若 $f\left(x\right)$ 无最大值, 则实数 $a$ 的取值范围是_     。

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>0,b>0)$ 的渐近线为正方形 $\mathrm{OABC}$ 的边 $\mathrm{OA},\mathrm{OC}$ 所在的直线, 点 $\mathrm{B}$ 为该双曲线的焦点, 若正方形 $\mathrm{OABC}$ 的边长为 2 , 则 $a=$     .

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, $S_n$ 为其前 $n$ 项和, 若 $a_1=6,a_3+a_5=0$, 则 $S_6=$        。

在极坐标系中, 直线 $\rho \cos \theta -\sqrt{3}\rho \sin \theta -1=0$ 与圆 $\rho =2\cos \theta$ 交于 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两点,则 $\left|\mathit{AB}\right|=$            。   

在 $(1-2x{)}^6$ 的展开式中, $x^2$ 的系数为_      (用数字作答）

设 $a\in R$, 若复数 $(1+i)(a+i)$ 在复平面内对应的点位于实轴上, 则

$a=$        。

袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中 任意取出两个球, 将其中一个球放入甲盒, 如果这个球是红球, 就将另一个球放入乙盒, 否则就放入丙盒.重复上述过程, 直到袋中所有球都被放入盒中, 则（ ）

A．	乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；
B．	乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；
C．	乙盒中红球不多于丙盒中红球；
D．	乙盒中黑球与丙盒中红球一样多；

将函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 图象上的点 $P\left(\frac{\pi }{4},t\right)$ 向左平移 $s\mathrm{}(s>0)$ 个单位长度得到点 $P^{\text{'}}$ , 若 $P^{\text{'}}$ 位于函数 $y=\sin 2x$ 的图象上, 则（   ）

A．	$t=\frac{1}{2}\mathrm{，}s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}\mathrm{}$	B．	$t=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{}\mathrm{，}s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$
C．	$t=\frac{1}{2}\mathrm{，}s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}\mathrm{}$	D．	$t=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{，}s$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$

某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱雉的体积为（    ）

A．

$\frac{1}{6}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

1

已知 $x,y\in R$ , 且 $x>y>0$ , 则（   ）

A．

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0$

B．

$\sin x-\sin y>0$

C．

${\left(\frac{1}{2}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^y<0$

D．

$\ln x+\ln y>0$