高中数学试题

函数 $f\left(x\right)=\frac{\text{tan}x}{1+\text{ta}{\text{n}}^{2}x}$ 的最小正周期为（   ）

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\pi$

D．

$2\pi$

如图，在极坐标系 $\mathit{Ox}$ 中， $A(2,0)$ ， $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ ， $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ ， $D(2,\pi )$ ，弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$ ， $(1,\frac{\pi }{2})$ ， $(1,\pi )$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ .

（1）分别写出 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $\left|\mathit{OP}\right|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

已知曲线 C： y= $\frac{x^2}{2}$ ， D为直线 y= $-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为 A， B.

（1）证明：直线 AB过定点：

（2）若以 E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+b$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）是否存在 $a,b$ ，使得 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为1？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由.

图1是由矩形 ADEB，Rt△ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE= BF=2，∠ FBC=60°，将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图2.

（1）证明：图2中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（2）求图2中的二面角 B−CG−A的大小.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 挖去四棱锥 $O-\mathit{EFGH}$ 后所得的几何体，其中 $O$ 为长方体的中心， 分别为所在棱的中点， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=6\mathit{cm},\mathit{A}{A}_1=4\mathit{cm}$ ， 打印所用原料密度为 $0.9g/c{m}^3$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ $g$ .

设 $F_1，F_2$为椭圆 $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$的两个焦点， $M$为 $C$上一点且在第一象限.若 $△M{F}_1{F}_2$为等腰三角形，则 $M$的坐标为___________.

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和， $a_1\ne 0，a_2=3a_1$，则 $\frac{S_{10}}{S_5}=$___________.

已知 $\vec{a},\vec{b}$为单位向量，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}$=0，若 $\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$ ，则 $\mathit{cos}<\vec{a},\vec{c}>=$___________.

设 $f\left(x\right)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $\left(0,+\infty \right)$ 单调递减，则（   ）

A．
B．
C．
D．

双曲线 C： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}$ =1的右焦点为 F，点 P在 C的一条渐近线上， O为坐标原点，若 $\left|\mathit{PO}\right|=\left|\mathit{PF}\right|$ ，则△ PFO的面积为（  ）

A．

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

B．

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

C．

$2\sqrt{2}$

D．

$3\sqrt{2}$

执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\epsilon$ 为 $0.01$ ，则输出 $s$ 的值等于（   ）

A．

$2-\frac{1}{2^4}$

B．

$2-\frac{1}{2^5}$

C．

$2-\frac{1}{2^6}$

D．

$2-\frac{1}{2^7}$

如图，点 $N$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 的中心， $\mathit{\Delta ECD}$ 为正三角形，平面 $\mathit{ECD}\perp$ 平面 $\mathit{ABCD},M$ 是线段 $\mathit{ED}$ 的中点，则（ ）

A．	$\mathit{BM}=\mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是相交直线
B．	$\mathit{BM}\ne \mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是相交直线
C．	$\mathit{BM}=\mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是异面直线
D．	$\mathit{BM}\ne \mathit{EN}$ ，且直线 $\mathit{BM},\mathit{EN}$ 是异面直线

如图，已知点 $F\left(1，0\right)$ 为抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△\mathit{ABC}$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $\mathit{AC}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△\mathit{AFG},△\mathit{CQG}$ 的面积为 $S_1,S_2$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.