高中数学试题

设a，b，c $\in$R，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$．

设函数 $f\left(x\right)=x^3+\mathit{bx}+c$，曲线 $y=f\left(x\right)$在点( $\frac{1}{2}$，f( $\frac{1}{2}$))处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若 $f\left(x\right)$有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f\left(x\right)$所有零点的绝对值都不大于1．

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^{x-1}-\mathit{ln}x+\mathit{ln}a$．

（1）当 $a=e$时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a^2\right|+|x-2a+1|$ .

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f\left(x\right)⩾4$ 的解集；

（2）若 $f\left(x\right)⩾4$ ，求 a的取值范围.

已知函数f(x)=sin²xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明： $\left|f\left(x\right)\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$；

（3）设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^n}{4^n}$.

如图，已知三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁的底面是正三角形，侧面 BB ₁ C ₁ C是矩形， M， N分别为 BC， B ₁ C ₁的中点， P为 AM上一点，过 B ₁ C ₁和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F.

（1）证明： AA ₁∥ MN，且平面 A ₁ AMN⊥ EB ₁ C ₁ F；

（2）设 O为△ A ₁ B ₁ C ₁的中心，若 AO∥平面 EB ₁ C ₁ F，且 AO= AB，求直线 B ₁ E与平面 A ₁ AMN所成角的正弦值.

已知函数 $f\left(x\right)=|3x+1|-2|x-1|$ ．

（1）画出 $y=f\left(x\right)$ 的图像；

（2）求不等式 $f\left(x\right)>f(x+1)$ 的解集．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x+a{x}^2-x$ .

（1）当 a=1时，讨论 f（ x）的单调性；

（2）当 x≥0时， f（ x）≥ $\frac{1}{2}$ x ³+1，求 a的取值范围.

已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\overrightarrow{\mathit{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathit{GB}}=8$，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^{x-1}-\mathit{ln}x+\mathit{ln}a$．

（1）当 $a=e$时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有可能的取值为 $1,2,\cdots ,n$ ，且 $P(X=i)=p_i>0(i=1,2,\cdots ,n),\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_i=1$ ，定义 X的信息熵 $H\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_i{\mathit{log}}_2{p}_i$ .（    ）

A．	A 若n=1，则H(X)=0
B．	若n=2，则H(X)随着 $p_1$ 的增大而增大
C．	若 $p_i=\frac{1}{n}(i=1,2,\cdots ,n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大
D．	若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1,2,\cdots ,m$ ，且 $P(Y=j)=p_j+p_{2m+1-j}(j=1,2,\cdots ,m)$ ，则H(X)≤H(Y)

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．

（1）求p₁·q₁和p₂·q₂；

（2）求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．

已知数列 $\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 ${S_{n+1}}^{\frac{1}{k}}-{S_n}^{\frac{1}{k}}=\lambda {a_{n+1}}^{\frac{1}{k}}$成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列 $\left\{a_n\right\}$是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$是“ $\frac{\sqrt{3}}{3}-2$”数列，且a_n＞0，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_n\right\}$为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

已知关于x的函数 $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$与 $h\left(x\right)=\mathit{kx}+b(k,b\in R)$在区间D上恒有 $f\left(x\right)\ge h\left(x\right)\ge g\left(x\right)$．

（1）若 $f\left(x\right)=x^2+2x，g\left(x\right)=-x^2+2x，D=(-\infty ，+\infty )$，求h(x)的表达式；

（2）若 $f\left(x\right)=x^2-x+1，g\left(x\right)=\mathit{k}\mathit{ln}x，h\left(x\right)=\mathit{kx}-k,D=(0，+\infty )$，求k的取值范围；

（3）若 $f\left(x\right)=x^4-2x^2，g\left(x\right)=4x^2-8，h\left(x\right)=4\left(t^2-t\right)x-3t^4+2t^2(0<\left|\mathit{t}\right|\le \sqrt{2})，D=\left[m,\mathit{n}\right]\subseteq \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]，$求证： $n-m\le \sqrt{7}$．