高中数学试题

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|$ ．

（1）画出 的图像；

（2）当 $x\in [0,+\infty )$ ， $f\left(x\right)\le \mathit{ax}+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}$．

（1）求曲线在点 $\left(0,-1\right)$处的切线方程；

（2）证明：当 $a\ge 1$时， $f\left(x\right)+e\ge 0$．

已知斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于 $A$， $B$两点．线段 $\mathit{AB}$的中点为 $M(1,m)(m>0)$．

（1）证明： $k<-\frac{1}{2}$；

（2）设 $F$为 $C$的右焦点， $P$为 $C$上一点，且 $\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}=\stackrel{⃑}{0}$．证明： $2\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}\left|=\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}\left|+\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}\right|$．

设 $\mathit{A\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}B\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}C\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}D}$ 是同一个半径为4的球的球面上四点， $△\mathit{ABC}$ 为等边三角形且其面积为 $9\sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D-\mathit{ABC}$ 体积的最大值为（   ）

A． $12\sqrt{3}$ B． $18\sqrt{3}$ C． $24\sqrt{3}$ D． $54\sqrt{3}$

设 $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ .

（1）求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

（2）若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a\le -3$ 或 $a\ge -1$ .

设函数 $f\left(x\right)$ =sin（ $\mathit{\omega x}+\frac{\pi }{5}$ ）( $\omega$ ＞0)，已知 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,2\pi \right]$ 有且仅有5个零点，下述四个结论：

① $f\left(x\right)$ 在（ $0,2\pi$ ）有且仅有3个极大值点

② $f\left(x\right)$ 在（ $0,2\pi$ ）有且仅有2个极小值点

③ $f\left(x\right)$ 在（ $0,\frac{\pi }{10}$ ）单调递增

④ $\omega$ 的取值范围是[ $\frac{12}{5}，\frac{29}{10}$ )

其中所有正确结论的编号是（   ）

A．

①④

B．

②③

C．

①②③

D．

①③④

已知实数 $a\ne 0$，设函数 $f\left(x\right)=a\mathit{ln}x+\sqrt{x+1},x>0.$

（1）当 $a=-\frac{3}{4}$时，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）对任意 $x\in [\frac{1}{e^2},+\infty )$均有 $f\left(x\right)\le \frac{\sqrt{x}}{2a},$ 求 $a$的取值范围.

注： $e=2.71828...$为自然对数的底数.

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，当每个 ${\lambda }_i(i=1,2,3,4,5,6)$取遍 $\pm 1$时， $\left|{\lambda }_1\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+{\lambda }_2\stackrel{⃑}{\mathit{BC}}+{\lambda }_3\stackrel{⃑}{\mathit{CD}}+{\lambda }_4\stackrel{⃑}{\mathit{DA}}+{\lambda }_5\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}+{\lambda }_6\stackrel{⃑}{\mathit{BD}}\right|$的最小值是________；最大值是_______.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．

已知 $f\left(x\right)=|x-a|x+|x-2|(x-a).$

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)<0$的解集；

（2）若 $x\in (-\infty ,1)$时， $f\left(x\right)<0$，求 $a$的取值范围.

设 $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ .

（1）求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

（2）若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a\le -3$ 或 $a\ge -1$ .

已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $:x_1=1,x_n=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n\in {\mathbf{N}}^{*}\right)$.

证明: 当 $n\in {\mathbf{N}}^{*}$ 时,

( I ) $0<x_{n+1}<x_n$;

( II ) $2x_{n+1}-x_n⩽\frac{x_n{x}_{n+1}}{2}$;

( III ) $\frac{1}{2^{n-1}}⩽x_n⩽\frac{1}{2^{n-2}}$.

$\text{设数列 }\mathrm{A}:a_1,a_2,\dots a_N(N\ge )\text{.如果对小于 }n(2\le n\le N)$ ， $\text{的每个正整数}k\text{都有}{a}_k<a_n$ 则称 $n$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的一个 " $\mathrm{G}$ 时刻" $，$ 记 $G\left(A\right)$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的所有 " $\mathrm{G}$ 时刻" 组成的集合.

（1）对数列 A: $-2,2,-1,1,3$ , 写出 $G\left(A\right)$ 的所有元素;

（2）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 中存在 $a_n$ 使得 $a_n>a_1$ , 则 $G\left(A\right)\ne \varnothing$ ;

（3）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 满足 $a_n-a_{n-1}\le (n=2,3,\dots ，N)$ 则G（A）的元素个数小于 $a_N-a_1$ ；

已知 $f\left(x\right)=|x-a|x+|x-2|(x-a).$

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)<0$的解集；

（2）若 $x\in (-\infty ,1)$时， $f\left(x\right)<0$，求 $a$的取值范围.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．