高中数学试题

C.（选做题选修 $4-3$）在平面之间坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知直线 $I$的参数方程式为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\left(t\text{为参数}\right)\right.$，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\cos \theta ,\\ y=2\sin \theta \end{array}\mathrm{}(\theta \right.$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$, $B$ 两点, 求线段 $\mathit{AB}$ 的长.

B.（选择题选修 4－2）已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$, 求矩阵 $\mathit{AB}$.

记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$. 对数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $\mathrm{T}$, 若 $T=\varnothing$, 定义 $S_T=0;$ 若

$T=\left\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\right\}$, 定 义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$. 例 如 : $\mathrm{}T=\{1,3,66\}$ 时 ,

$S_T=a_1+a_3+a_{66}.$ 现设 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T=\{2,4\}$ 时,

$S_T=30$

(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k(1\le k\le 100)$, 若 $T\subseteq \{1,2,\cdots ,\mathrm{k}\}$, 求证: $S_T<a_{k+1}$;

(3) 设 $C\subseteq U,D\subseteq U,S_C\ge S_D$, 求证: $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$.

已知函数 $f\left(x\right)$ =│ x+1│-│ x-2│.

（1）求不等式 $f\left(x\right)$ ≥1的解集；

（2）若不等式 $f\left(x\right)$ ≥ x ²- x+ m的解集非空，求实数 m的取值范围.

设 n为正整数，集合 A= $\left\{\alpha \right|\alpha =\left(t_1,t_2,\cdots ,t_n\right),t_k\in \left\{0,1\right\},k=1,2,\cdots ,n\}$ ．对于集合 A中的任意元素 $\alpha =\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\beta =\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ ，记

M（ $\alpha ，\beta$ ）= $\frac{1}{2}\left[\left(x_1+y_1-\left|x_1-y_1\right|\right)+\left(x_2+y_2-\left|x_2-y_2\right|\right)+\cdots +\left(x_n+y_n-\left|x_n-y_n\right|\right)\right]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $\alpha =\left(1,1,0\right)$ ， $\beta =\left(0,1,1\right)$ ，求 M（ $\alpha ,\alpha$ ）和 M（ $\alpha ,\beta$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $\alpha ,\beta$ ，当 $\alpha ,\beta$ 相同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是奇数；当 $\alpha ,\beta$ 不同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $\alpha ,\beta$ ， M（ $\alpha ，\beta$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

已知函数 $f\left(x\right)=a^x$ ， $g\left(x\right)=\text{lo}{\text{g}}_{a}x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-x\text{ln}a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 处的切线与曲线 $y=g\left(x\right)$ 在点 $\left(x_2,g\left(x_2\right)\right)$ 处的切线平行，证明 $x_1+g\left(x_2\right)=-\frac{2\text{lnln}a}{\text{ln}a}$ ；

（III）证明当 $a\ge e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线，也是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的切线.

已知 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|\mathit{ax}-1\right|$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集；

（2）若 $x\in \left(0,1\right)$ 时不等式 $f\left(x\right)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

设函数 $f\left(x\right)=5-\left|x+a\right|-\left|x-2\right|$.

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 0$的解集；

（2）若 $f\left(x\right)\le 1$恒成立，求 $a$的取值范围.

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|$ ．

（1）画出 的图像；

（2）当 $x\in [0,+\infty )$ ， $f\left(x\right)\le \mathit{ax}+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(2+x+a{x}^2\right)\mathit{ln}\left(1+x\right)-2x$．

（1）若 $a=0$，证明：当 $-1<x<0$时， $f\left(x\right)<0$；当 $x>0$时， $f\left(x\right)>0$；

（2）若 $x=0$是 $f\left(x\right)$的极大值点，求 $a$．

已知斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于 $A$， $B$两点，线段 $\mathit{AB}$的中点为 $M\left(1\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}m\right)\left(m>0\right)$．

（1）证明： $k<-\frac{1}{2}$；

（2）设 $F$为 $C$的右焦点， $P$为 $C$上一点,且 $\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}=0$．证明： $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}\right|$， $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}\right|$， $\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}\right|$成等差数列，并求该数列的公差．

设 $\mathit{A\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}B\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}C\hspace{0.33em}}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}D}$ 是同一个半径为4的球的球面上四点， $△\mathit{ABC}$ 为等边三角形且其面积为 $9\sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D-\mathit{ABC}$ 体积的最大值为(   )

A．

$12\sqrt{3}$

B．

$18\sqrt{3}$

C．

$24\sqrt{3}$

D．

$54\sqrt{3}$

已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x}-\mathit{ln}x$ ．

（Ⅰ）若f(x)在x=x ₁，x ₂(x ₁≠x ₂)处导数相等，证明：f(x ₁)+f(x ₂)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

已知 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|\mathit{ax}-1\right|$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集；

（2）若 $x\in \left(0,1\right)$ 时不等式 $f\left(x\right)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

设函数 $f\left(x\right)=5-\left|x+a\right|-\left|x-2\right|$.

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 0$的解集；

（2）若 $f\left(x\right)\le 1$恒成立，求 $a$的取值范围.