高中数学合情推理和演绎推理解答题

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①；
②；
③；
④；
⑤.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.
（2）已知试用分析法证明： .

在数列中，，，，试猜想这个数列的通项公式．

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求出，并猜测的表达式；
(2) 求证：＋＋＋…＋．

已知，分别求，，，
然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

由下列不等式：，，，，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为，且相应各边上的高分别为，求证：=1.类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明.

（本小题满分13分）
已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。

对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把函数（）叫做闭函数．
(1) 求闭函数符合条件②的区间；
(2) 若是闭函数，求实数的取值范围．

设为非零向量，且不平行，求证，不平行

（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；
（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

用三段论证明：通项为（为常数）的数列是等差数列．

直角三角形的三边满足 ，分别以三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为，请比较的大小。

计算：

观察（1）
（2）
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。