高中数学空间向量的应用解答题

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

（本小题满分16分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：平面平面

如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

（本小题满分10 分）在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD面ABCD，是的中点，作交于点，PD=DC。
         
（1）证明：∥平面；
（2）证明：平面。

某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱，其中，，是边长为2（单位：米）的正方形，，点为棱上的动点．

（Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：，结果保留到整数位）
（Ⅱ）当点为何位置时，平面？

（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，、分别为、的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：．

如图，在四棱锥中，四边形是矩形，侧面⊥底面，若点分别是的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面．

三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，，，分别是，，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面．

（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面,，
，求平面与平面所成角（锐角）的大小．

（本小题满分12分）在正三棱锥中，、分别为棱、的中点，且．

（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面．

（本小题满分14分）如图，平面平面,，，

（1）求证：；
（2）求证：

（本题12分）．如图，四棱柱中，侧棱⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，=AB=2，E为棱的中点．

（Ⅰ）证明
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长．

如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，截面DAN交PC于M．

（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：PB⊥平面ADMN．

（本小题满分12分）已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D₁AE（如图2），并且平面D₁AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D₁—ABCE的主视图与左视图．


（Ⅰ）求证：直线BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）求点A到平面D₁BC的距离．

如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD， 平面ABCD，，
，E为BC中点。

（1）求证：平面平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？若存在，请找出具体位置，并进行证明；若不存在，请分析说明理由．