高中数学三角形填空题

已知点是的中位线上任意一点，且，实数，
满足．设，，，的面积分别为，，，， 记，，．则取最大值时，的值为▲．

（几何证明选讲选做题）在梯形中，，，，点、分别在、上，且，若，则的长为．

如图，在直角梯形 $ABCD$ 中， $DC\parallel AB$ ， $CB\perp AB$ ， $AB=DA=a$ ， $CD=\frac{a}{2}$ ，点 $E,F$ 分别为线段 $AB$ ， $CD$ 的中点，则 $EF$ = .

延长平行四边形ABCD的边BC到F，AF依次交DB、DC于E、G，AE比EG大2，GF=5，则EG=________________。