高中数学解答题

设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n项和， $S_n=\text{k}{\text{n}}^2+n,n\in N^{*}$ ，其中 $k$ 是常数.

（Ⅰ）求 $a_1$ 及 $a_n$ ；

（Ⅱ）若对于任意的 $m\in N^{*}$ , $a_m$ , $a_{2m}$ , $a_{4m}$ 成等比数列，求 k的值.

如图， $\mathit{DC}\perp \mathit{平面}\mathit{ABC}$ , $\mathit{EB}\parallel \mathit{DC}$ , $\mathit{AC}=\mathit{BC}=\mathit{EB}=2\mathit{DC}=2$ , $\angle \mathit{ACB}=120°$ ，P,Q分别为AE,AB的中点.

（Ⅰ）证明： $\mathit{PQ}\parallel \mathit{平面}\mathit{ACD}$ ；

（Ⅱ）求 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{平面}\mathit{ABE}$ 所成角的正弦值.

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 $\mathit{cos}\frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ， $\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AC}}=3$ .

(Ⅰ)求 $△\mathit{ABC}$ 的面积；     

（Ⅱ）若 $c=1$ ，求 $a$ 的值.

双曲线 $C_1:\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，圆 $C_2:x^2+y^2=4+b^2(b>0)$ 在第一象限交点为A， $A(x_A,y_A)$ ，曲线 $\Gamma \left\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1,\left|x\right|>x_A\\ x^2+y^2=4+b^2,\left|x\right|>x_A\end{array}\right.$ 。

（1）若 $x_A=\sqrt{6}$ ，求b；

（2）若 $b=\sqrt{5}$ ， $C_2$ 与x轴交点记为 $F_1、F_2$ ，P是曲线 $\Gamma$ 上一点，且在第一象限，并满足 $\left|P{F}_1\right|=8$ ，求∠ $F_{1}P{F}_2$ ；

（3）过点 $S(0,2+\frac{b^2}{2})$ 且斜率为 $-\frac{b}{2}$ 的直线 $l$ 交曲线 $\Gamma$ 于M、N两点，用b的代数式表示 $\overrightarrow{\mathit{OM}}\bullet \overrightarrow{\mathit{ON}}$ ，并求出 $\overrightarrow{\mathit{OM}}\bullet \overrightarrow{\mathit{ON}}$ 的取值范围。

已知： $\nu =\frac{q}{x}$， $x\in (0,80]$，且 $\nu =\left\{\begin{array}{c}100\text{-135}(\frac{1}{3}{)}^{\frac{80}{x}},x\in (0,40)\\ -k(x-40)+85,x\in [40,80]\end{array}\right.(k>0)$，

（1）若v>95，求x的取值范围；

（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

已知 $f\left(x\right)\text{=sin}\mathit{\omega x}(\omega >0)$.

（1）若f(x)的周期是4π，求 $\omega$，并求此时 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}$的解集；

（2）已知 $\omega =1$， $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)+\sqrt{3}f(-x)f(\frac{\pi }{2}-x)$， $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，求g(x)的值域.

已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 到 $A_1\mathit{BC}{D}_1$ ，求 $A{D}_1$ 与平面ABCD所成的角。

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 是圆 $O:x^2+y^2=2$ 上动点 $P(x_0,y_0)(x_0{y}_0\ne 0)$ 处的切线， $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A,B$ ，证明 $\angle \mathit{AOB}$ 的大小为定值。              

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^{\mathit{kx}}(k\ne 0)$

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $(0,f(0\left)\right)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（Ⅲ）若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围。              

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；              

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望。

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABC},\mathit{PA}=\mathit{AB},\angle \mathit{ABC}=60^{°},\angle \mathit{BCA}=90^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $\mathit{PB},\mathit{PC}$ 上，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$

（Ⅰ）求证： $\mathit{BC}\perp$ 平面 $\mathit{PAC}$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $\mathit{PB}$ 的中点时，求 $\mathit{AD}$ 与平面 $\mathit{PAC}$ 所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A-\mathit{DE}-P$ 为直二面角？并说明理由。

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,B=\frac{\pi }{3}$， $\mathit{cos}A=\frac{4}{5},b=\sqrt{3}$。

（Ⅰ）求 $\mathit{sin}C$的值；

（Ⅱ）求 $\Delta \mathit{ABC}$的面积。

如图， $M\left(-2,0\right)$ 和 $N\left(2,0\right)$ 是平面上的两点，动点 $p$ 满足： $\left|\left|\mathit{PM}\right|-\left|\mathit{PN}\right|\right|=2.$

                             

（Ⅰ）求点 $p$ 的轨迹方程;

（Ⅱ）设 $d$ 为点 $p$ 到直线 $l$ ： $x=\frac{1}{2}$ 的距离，若 $\left|\mathit{PM}\right|=2{\left|\mathit{PN}\right|}^2$ ,求 $\frac{\left|\mathit{PM}\right|}{d}$ 的值.

如图， 为平面， $\alpha \cap \beta =l,A\in \alpha ,B\in \beta ,$ $AB=5$ , $A$ , $B$ 在棱 $l$ 上的射影分别为 $A^{`}$ ， $B^{`}$ ， $A{A}^{`}=3$ ， $B{B}^{`}=2$ .若二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $\frac{2\pi }{3}$ ，求：

    

（Ⅰ）点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离;

（Ⅱ）异面直线 $l$ 与 $AB$ 所成的角（用反三角函数表示）.

设函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2-9x-1(a<0).$ 若曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率最小的切线与直线 $12x+y=6$ 平行，求：

（Ⅰ） $a$ 的值;

（Ⅱ）函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间.